ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 458 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. sin a, tg а и ctg а, если cos а = -3/5 и пи/2 < a < пи;
2. cos а, tg а и ctg а, если sin а= -2/5 и пи < a < 3 пи/2.

$\cos a = -\frac{3}{5}$ и $\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка находится во II четверти:

$$\sin a = \sqrt{1 — \cos^2 a} = \sqrt{1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{25}{25} — \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} : \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \left(-\frac{4}{3}\right) = -\frac{3}{4};$$

$\sin a = -\frac{2}{5}$ и $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка находится в III четверти:

$$\cos a = -\sqrt{1 — \sin^2 a} = -\sqrt{1 — \left(-\frac{2}{5}\right)^2} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{4}{25}} = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5};$$ $$\tg a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{5} : \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right) = -\frac{2}{5} \cdot \left(-\frac{5}{\sqrt{21}}\right) = \frac{2}{\sqrt{21}};$$ $$\ctg a = \frac{1}{\tg a} = 1 : \frac{2}{\sqrt{21}} = \frac{\sqrt{21}}{2};$$

Задача: Найти значения $\sin a$, $\tan a$, $\cot a$ по заданному значению $\cos a$ или $\sin a$ и четверти, в которой находится угол $a$.

Общие сведения:

• Для любого угла $a$ справедливо тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

• Знак синуса или косинуса зависит от четверти, в которой находится угол $a$:

• Тангенс и котангенс выражаются как:

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a}, \quad \cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{\cos a}{\sin a}$$

Часть 1:

Дано:

$$\cos a = -\frac{3}{5}, \quad \frac{\pi}{2} < a < \pi$$

Шаг 1: Определяем знак $\sin a$

• Поскольку угол находится во II четверти, где $\sin a > 0$.

Шаг 2: Находим $\sin a$ из тождества

$$\sin^2 a = 1 — \cos^2 a = 1 — \left(-\frac{3}{5}\right)^2 = 1 — \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ $$\sin a = +\sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$

(Знак плюс, потому что во II четверти $\sin a > 0$.)

Шаг 3: Вычисляем $\tan a$

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = \frac{4}{5} \times \left(-\frac{5}{3}\right) = -\frac{4}{3}$$

Шаг 4: Вычисляем $\cot a$

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{-\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4}$$

Итог по части 1:

$$\sin a = \frac{4}{5}, \quad \tan a = -\frac{4}{3}, \quad \cot a = -\frac{3}{4}$$

Часть 2:

Дано:

$$\sin a = -\frac{2}{5}, \quad \pi < a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 1: Определяем знак $\cos a$

• Угол во III четверти, где $\cos a < 0$.

Шаг 2: Находим $\cos a$ из тождества

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a = 1 — \left(-\frac{2}{5}\right)^2 = 1 — \frac{4}{25} = \frac{21}{25}$$ $$\cos a = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}$$

(Знак минус, так как в III четверти $\cos a < 0$.)

Шаг 3: Вычисляем $\tan a$

$$\tan a = \frac{\sin a}{\cos a} = \frac{-\frac{2}{5}}{-\frac{\sqrt{21}}{5}} = -\frac{2}{5} \times \left(-\frac{5}{\sqrt{21}}\right) = \frac{2}{\sqrt{21}}$$

Шаг 4: Вычисляем $\cot a$

$$\cot a = \frac{1}{\tan a} = \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{21}}} = \frac{\sqrt{21}}{2}$$

Итог по части 2:

$$\cos a = -\frac{\sqrt{21}}{5}, \quad \tan a = \frac{2}{\sqrt{21}}, \quad \cot a = \frac{\sqrt{21}}{2}$$