ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 457 Алимов — Подробные Ответы

Могут ли одновременно выполняться равенства:

1. sina = корень 2/3 и cosa= корень 3/3;
2. sina = -4/5 и cosa= — 3/5;
3. sina = — корень 3/5 и cosa= корень 23/5;
4. sina = 0,2 и cosa= 0,8?

Могут ли одновременно выполняться равенства:

$\sin a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\cos a = \frac{\sqrt{3}}{3}$;

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \left( \frac{\sqrt{2}}{3} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)^2 = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9} \neq 1;$$

Ответ: не могут.

$\sin a = -\frac{4}{5}$ и $\cos a = -\frac{3}{5}$;

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \left( -\frac{4}{5} \right)^2 + \left( -\frac{3}{5} \right)^2 = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1;$$

Ответ: могут.

$\sin a = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $\cos a = \frac{\sqrt{23}}{5}$;

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \left( -\frac{\sqrt{3}}{5} \right)^2 + \left( \frac{\sqrt{23}}{5} \right)^2 = \frac{3}{25} + \frac{23}{25} = \frac{26}{25} \neq 1;$$

Ответ: не могут.

$\sin a = 0.2$ и $\cos a = 0.8$;

$$\sin^2 a + \cos^2 a = (0.2)^2 + (0.8)^2 = 0.04 + 0.64 = 0.68 \neq 1;$$

Ответ: не могут.

Задача: Проверить, могут ли одновременно выполняться равенства для $\sin a$ и $\cos a$ с заданными значениями.

Основное уравнение тригонометрии:

Для любого угла $a$ справедливо тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Это фундаментальное свойство, отражающее, что точка $(\cos a, \sin a)$ лежит на единичной окружности.

Метод решения:

• Для каждой пары значений $\sin a$ и $\cos a$ проверим, удовлетворяют ли они уравнению $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$.
• Если сумма квадратов равна 1, то значения могут одновременно быть значениями синуса и косинуса одного и того же угла.
• Если нет — не могут.

1) Проверка для $\sin a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ и $\cos a = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Шаг 1: Возводим в квадрат:

$$\left(\frac{\sqrt{2}}{3}\right)^2 = \frac{2}{9}$$ $$\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$

Шаг 2: Складываем:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \frac{2}{9} + \frac{3}{9} = \frac{5}{9} \approx 0{,}555\ldots$$

Шаг 3: Сравниваем с 1:

$$\frac{5}{9} \neq 1$$

Вывод:

Значения не удовлетворяют уравнению, значит не могут одновременно быть значениями $\sin a$ и $\cos a$.

2) Проверка для $\sin a = -\frac{4}{5}$ и $\cos a = -\frac{3}{5}$

Шаг 1: Возводим в квадрат:

$$\left(-\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{16}{25}$$ $$\left(-\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25}$$

Шаг 2: Складываем:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$$

Вывод:

Значения удовлетворяют уравнению, значит могут одновременно быть значениями $\sin a$ и $\cos a$.

3) Проверка для $\sin a = -\frac{\sqrt{3}}{5}$ и $\cos a = \frac{\sqrt{23}}{5}$

Шаг 1: Возводим в квадрат:

$$\left(-\frac{\sqrt{3}}{5}\right)^2 = \frac{3}{25}$$ $$\left(\frac{\sqrt{23}}{5}\right)^2 = \frac{23}{25}$$

Шаг 2: Складываем:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = \frac{3}{25} + \frac{23}{25} = \frac{26}{25} = 1{,}04$$

Шаг 3: Сравниваем с 1:

$$\frac{26}{25} \neq 1$$

Вывод:

Значения не удовлетворяют уравнению, значит не могут одновременно быть значениями $\sin a$ и $\cos a$.

4) Проверка для $\sin a = 0.2$ и $\cos a = 0.8$

Шаг 1: Возводим в квадрат:

$$(0.2)^2 = 0.04$$ $$(0.8)^2 = 0.64$$

Шаг 2: Складываем:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 0.04 + 0.64 = 0.68$$

Шаг 3: Сравниваем с 1:

$$0.68 \neq 1$$

Вывод:

Значения не удовлетворяют уравнению, значит не могут одновременно быть значениями $\sin a$ и $\cos a$.