ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 454 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. sin (5 пи + x)=1;
2. cos (x + 3пи)=0;
3. cos (5 пи/2 + x)=-1;
4. sin (9 пи/2 + x)=-1

$\sin(5\pi + x) = 1$;

Искомая точка на окружности:
$(0; 1);$

Значит $x$ принимает значение:
$5\pi + x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$
$x = \frac{\pi}{2} — 5\pi + 2\pi k = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k;$

Ответ: $x = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$.

$\cos(x + 3\pi) = 0$;

Искомые точки на окружности:
$(0; 1) \text{ и } (0; -1);$

Значит $x$ принимает значения:
$x_1 + 3\pi = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \text{ и } x_2 + 3\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$
$x + 3\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k;$
$x = \frac{\pi}{2} — 3\pi + \pi k = -\frac{5\pi}{2} + \pi k;$

Ответ: $x = -\frac{5\pi}{2} + \pi k$.

$\cos\left(\frac{5}{2}\pi + x\right) = -1$;

Искомая точка на окружности:
$(-1; 0);$

Значит $x$ принимает значение:
$\frac{5}{2}\pi + x = \pi + 2\pi k;$
$x = \pi — \frac{5}{2}\pi + 2\pi k = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k;$

Ответ: $x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$.

$\sin\left(\frac{9}{2}\pi + x\right) = -1$;

Искомая точка на окружности:
$(0; -1);$

Значит $x$ принимает значение:
$\frac{9}{2}\pi + x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k;$
$x = -\frac{\pi}{2} — \frac{9}{2}\pi + 2\pi k = -5\pi + 2\pi k;$

Ответ: $x = -5\pi + 2\pi k$.

Задача: Найти значения $x$, при которых выполняются тригонометрические уравнения с аргументами вида $a + x$, где $a$ — число, и с учётом свойств тригонометрических функций.

Общие сведения:

• Уравнения вида $\sin \theta = y$ или $\cos \theta = y$ имеют решения, которые можно найти, используя известные значения синуса и косинуса на единичной окружности.
• Значения $\sin \theta$ и $\cos \theta$ равны конкретным числам в определённых точках окружности.
• Тригонометрические функции периодичны:

  $$\sin(\theta + 2\pi) = \sin \theta, \quad \cos(\theta + 2\pi) = \cos \theta$$

• Это позволяет найти общий вид решения, учитывая период.

1) Решение уравнения $\sin(5\pi + x) = 1$

Шаг 1: Найти точку на единичной окружности, где $\sin \theta = 1$

• $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
• На окружности это точка $(0, 1)$.

Шаг 2: Подставить $\theta = 5\pi + x$

• Уравнение принимает вид:

  $$5\pi + x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 3: Выразить $x$

$$x = \frac{\pi}{2} — 5\pi + 2\pi k = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k$$

Итог:

$$\boxed{x = -\frac{9\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

2) Решение уравнения $\cos(x + 3\pi) = 0$

Шаг 1: Найти точки на окружности, где $\cos \theta = 0$

• $\cos \theta = 0$ при:

  $$\theta = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

• Это точки $(0,1)$ и $(0,-1)$ — верхняя и нижняя точки окружности.

Шаг 2: Подставить $\theta = x + 3\pi$

• Уравнение принимает вид:

  $$x + 3\pi = \frac{\pi}{2} + \pi k$$

Шаг 3: Выразить $x$

$$x = \frac{\pi}{2} — 3\pi + \pi k = -\frac{5\pi}{2} + \pi k$$

Итог:

$$\boxed{x = -\frac{5\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

3) Решение уравнения $\cos\left(\frac{5}{2}\pi + x\right) = -1$

Шаг 1: Найти точку на окружности, где $\cos \theta = -1$

• $\cos \theta = -1$ при $\theta = \pi + 2\pi k$.
• Точка $(-1, 0)$ на окружности.

Шаг 2: Подставить $\theta = \frac{5}{2}\pi + x$

$$\frac{5}{2}\pi + x = \pi + 2\pi k$$

Шаг 3: Выразить $x$

$$x = \pi — \frac{5}{2}\pi + 2\pi k = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$$

Итог:

$$\boxed{x = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}}$$

4) Решение уравнения $\sin\left(\frac{9}{2}\pi + x\right) = -1$

Шаг 1: Найти точку, где $\sin \theta = -1$

• $\sin \theta = -1$ при:

  $$\theta = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi (k+1)$$

• Точка $(0, -1)$ на окружности.

Шаг 2: Подставить $\theta = \frac{9}{2}\pi + x$

$$\frac{9}{2}\pi + x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$$

Шаг 3: Выразить $x$

$$x = -\frac{\pi}{2} — \frac{9}{2}\pi + 2\pi k = -5\pi + 2\pi k$$

Итог:

$$\boxed{x = -5\pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}}$$