ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 449 Алимов — Подробные Ответы

Пусть 0 < a < пи/2. Определить знак числа:

1. sin(пи/2 — a);
2. cos (пи/2 + a);
3. cos(a-пи);
4. tg(a- пи/2);
5. tg(3пи/2 — a);
6. sin(пи- a).

Определить знак данного числа, если $0 < a < \frac{\pi}{2}$:

1. $\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -a < 0$;
   $0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
   Ответ: $\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) > 0$.
2. $\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + a < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) < 0$.
3. $\cos(a — \pi)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $-\pi < a — \pi < -\frac{\pi}{2}\quad |+2\pi|$;
   $\pi < a — \pi < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\cos(a — \pi) < 0$.
4. $\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < a — \frac{\pi}{2} < 0\quad |+2\pi|$;
   $\frac{3\pi}{2} < a — \frac{\pi}{2} < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right) < 0$.
5. $\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}\pi — a\right)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -a < 0$;
   $\pi < \frac{3}{2}\pi — a < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}\pi — a\right) > 0$.
6. $\sin(\pi — a)$;
   $0 < a < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -a < 0$;
   $\frac{\pi}{2} < \pi — a < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\sin(\pi — a) > 0$.

Общие сведения:

• Угол $a$ лежит в I четверти, где все тригонометрические функции $\sin a$, $\cos a$, $\tan a$ положительны.
• Для определения знака функции с выражением, включающим сдвиг или отражение угла, сначала приводим угол к интервалу $[0, 2\pi)$ и определяем четверть, в которой он находится.
• Знак функции зависит от четверти:
  • I четверть $(0, \frac{\pi}{2})$: $\sin > 0$, $\cos > 0$, $\tan > 0$
  • II четверть $(\frac{\pi}{2}, \pi)$: $\sin > 0$, $\cos < 0$, $\tan < 0$
  • III четверть $(\pi, \frac{3\pi}{2})$: $\sin < 0$, $\cos < 0$, $\tan > 0$
  • IV четверть $(\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$: $\sin < 0$, $\cos > 0$, $\tan < 0$

1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right)$

Шаг 1: Выражение:

$$\frac{\pi}{2} — a$$

Шаг 2: Поскольку $0 < a < \frac{\pi}{2}$, проверим границы выражения:

$$\frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2} — 0 = \frac{\pi}{2}$$

То есть:

$$0 < \frac{\pi}{2} — a < \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Значит, угол $\frac{\pi}{2} — a$ находится в I четверти.

Шаг 4: В I четверти синус положителен:

$$\sin\left(\frac{\pi}{2} — a\right) > 0$$

2) $\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$

Шаг 1: Выражение:

$$\frac{\pi}{2} + a$$

Шаг 2: При $0 < a < \frac{\pi}{2}$:

$$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + a < \pi$$

Шаг 3: Угол находится во II четверти.

Шаг 4: В II четверти косинус отрицателен:

$$\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right) < 0$$

3) $\cos(a — \pi)$

Шаг 1: Выражение:

$$a — \pi$$

Шаг 2: При $0 < a < \frac{\pi}{2}$ вычислим границы:

$$-\pi < a — \pi < -\frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Чтобы получить угол в диапазоне $[0, 2\pi)$, прибавим $2\pi$:

$$a — \pi + 2\pi = a + \pi$$

Итак,

$$\pi < a + \pi < \frac{3\pi}{2}$$

Так как $a < \frac{\pi}{2}$, сумма $a + \pi$ лежит между $\pi$ и $\frac{3\pi}{2}$.

Шаг 4: Значит, угол в III четверти.

Шаг 5: В III четверти косинус отрицателен:

$$\cos(a — \pi) < 0$$

4) $\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right)$

Шаг 1: Выражение:

$$a — \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: При $0 < a < \frac{\pi}{2}$ вычислим границы:

$$-\frac{\pi}{2} < a — \frac{\pi}{2} < 0$$

Шаг 3: Прибавим $2\pi$, чтобы получить положительный угол:

$$a — \frac{\pi}{2} + 2\pi = a + \frac{3\pi}{2}$$

Так как $a < \frac{\pi}{2}$, то

$$\frac{3\pi}{2} < a + \frac{3\pi}{2} < 2\pi$$

Шаг 4: Значит, угол в IV четверти.

Шаг 5: В IV четверти тангенс отрицателен:

$$\operatorname{tg}\left(a — \frac{\pi}{2}\right) < 0$$

5) $\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}\pi — a\right)$

Шаг 1: Выражение:

$$\frac{3}{2}\pi — a$$

Шаг 2: При $0 < a < \frac{\pi}{2}$:

$$\frac{3\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = \pi < \frac{3\pi}{2} — a < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 3: Значит, угол лежит в III четверти.

Шаг 4: В III четверти тангенс положителен:

$$\operatorname{tg}\left(\frac{3}{2}\pi — a\right) > 0$$

6) $\sin(\pi — a)$

Шаг 1: Выражение:

$$\pi — a$$

Шаг 2: При $0 < a < \frac{\pi}{2}$:

$$\pi — \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} < \pi — a < \pi$$

Шаг 3: Угол в II четверти.

Шаг 4: В II четверти синус положителен:

$$\sin(\pi — a) > 0$$