ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 445 Алимов — Подробные Ответы

Определить знак числа cos а, если:

1. a= 2пи/3;
2. a= 7пи/6;
3. a= -2пи/5;
4. a= 4,6;
5. a= -5,3;
6. a= -150.

Определить знак числа $\cos a$, если:

1. $a = \frac{2}{3}\pi$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\cos a < 0$.
2. $a = \frac{7}{6}\pi$;
   $\pi < \frac{7\pi}{6} < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\cos a < 0$.
3. $a = -\frac{2}{5}\pi$;
   $-\frac{2}{5}\pi + 2\pi = -\frac{2\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{8\pi}{5}$;
   $\frac{3\pi}{2} < \frac{8\pi}{5} < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\cos a > 0$.
4. $a = 4.6$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $\pi < 4.6 < 1.5\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\cos a < 0$.
5. $a = -5.3$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $-5.3 + 2\pi \approx -5.3 + 6.28 \approx 0.98$;
   $0 < 0.98 < 0.5\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
   Ответ: $\cos a > 0$.
6. $a = -150^\circ$;
   $-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$;
   $180^\circ < 210^\circ \leqslant 270^\circ$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\cos a < 0$.

Вводные данные и напоминание:

• Косинус угла зависит от положения точки на единичной окружности, соответствующей углу $a$.
• Четверти и знак косинуса:
  • I четверть $\left(0 < a < \frac{\pi}{2}\right)$: $\cos a > 0$
  • II четверть $\left(\frac{\pi}{2} < a < \pi\right)$: $\cos a < 0$
  • III четверть $\left(\pi < a < \frac{3\pi}{2}\right)$: $\cos a < 0$
  • IV четверть $\left(\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi\right)$: $\cos a > 0$
• Угол $a$ можно привести к интервалу $[0, 2\pi)$ добавлением или вычитанием $2\pi$.

1) $a = \frac{2}{3}\pi$

• Проверяем, в какой четверти находится $\frac{2}{3}\pi$.
• Значения для границ:

  $$\frac{\pi}{2} = 0.5\pi, \quad \pi = 1\pi$$

• Поскольку $0.5\pi < \frac{2}{3}\pi < 1\pi$, угол во II четверти.
• В II четверти $\cos a < 0$.

Ответ: $\cos a < 0$.

2) $a = \frac{7}{6}\pi$

• Проверим положение $\frac{7}{6}\pi$:
• Значения границ:

  $$\pi = \frac{6}{6}\pi, \quad \frac{3\pi}{2} = \frac{9}{6}\pi$$

• Поскольку $\pi < \frac{7}{6}\pi < \frac{3\pi}{2}$, угол в III четверти.
• В III четверти $\cos a < 0$.

Ответ: $\cos a < 0$.

3) $a = -\frac{2}{5}\pi$

• Отрицательный угол, приводим к положительному:

$$a + 2\pi = -\frac{2\pi}{5} + 2\pi = -\frac{2\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{8\pi}{5}$$

• Определяем четверть для $\frac{8\pi}{5}$.
• Значения границ:

  $$\frac{3\pi}{2} = \frac{7.5\pi}{5} = 1.5\pi, \quad 2\pi = \frac{10\pi}{5}$$

• Поскольку $\frac{3\pi}{2} < \frac{8\pi}{5} < 2\pi$, угол во IV четверти.
• В IV четверти $\cos a > 0$.

Ответ: $\cos a > 0$.

4) $a = 4.6$ (радианы)

• Приближённо:

$$\pi \approx 3.14, \quad 1.5\pi = 1.5 \times 3.14 = 4.71$$

• Сравним с границами:

$$3.14 < 4.6 < 4.71$$

• Значит, угол $a = 4.6$ лежит в интервале $(\pi, 1.5\pi)$, то есть в III четверти.
• В III четверти $\cos a < 0$.

Ответ: $\cos a < 0$.

5) $a = -5.3$ (радианы)

• Приведём угол к положительному:

$$a + 2\pi = -5.3 + 6.28 = 0.98$$

• Приближённо:
  $0 < 0.98 < \frac{\pi}{2} \approx 1.57$
• Значит, угол в I четверти.
• В I четверти $\cos a > 0$.

Ответ: $\cos a > 0$.

6) $a = -150^\circ$

• Приведём угол в положительный интервал $[0^\circ, 360^\circ)$:

$$-150^\circ + 360^\circ = 210^\circ$$

• Определим четверть:
  • I: $0^\circ — 90^\circ$
  • II: $90^\circ — 180^\circ$
  • III: $180^\circ — 270^\circ$
  • IV: $270^\circ — 360^\circ$
• Поскольку $210^\circ$ лежит в III четверти,
• В III четверти $\cos a < 0$.

Ответ: $\cos a < 0$.