ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 444 Алимов — Подробные Ответы

Определить знак числа sin а, если:

1. a= 5пи/4;
2. a= -33пи/7;
3. a= -4пи/3;
4. a= -0,1пи;
5. a= 5,1;
6. a= -470.

Определить знак числа $\sin a$, если:

1. $a = \frac{5\pi}{4}$;
   $\pi < \frac{5\pi}{4} < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$.
2. $a = -\frac{33\pi}{7}$;
   $-\frac{33\pi}{7} + 6\pi = -\frac{33\pi}{7} + \frac{42\pi}{7} = \frac{9\pi}{7}$;
   $\pi < \frac{9\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$.
3. $a = -\frac{4}{3}\pi$;
   $-\frac{4}{3}\pi + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3} < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
   Ответ: $\sin a > 0$.
4. $a = -0.1\pi$;
   $-0.1\pi + 2\pi = 1.9\pi$;
   $1.5\pi < 1.9\pi < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$.
5. $a = 5.1$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $1.5\pi < 5.1 < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$.
6. $a = -470^\circ$;
   $-470^\circ + 2 \cdot 360^\circ = -470^\circ + 720^\circ = 250^\circ$;
   $180^\circ < 250^\circ \leqslant 270^\circ$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
   Ответ: $\sin a < 0$.

Задача: Определить знак числа $\sin a$, если даны углы $a$.

Общие сведения:

• Значение $\sin a$ зависит от положения угла $a$ на единичной окружности.
• Четверти тригонометрической окружности:
  • I четверть: $0 < a < \frac{\pi}{2}$ — $\sin a > 0$
  • II четверть: $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ — $\sin a > 0$
  • III четверть: $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$ — $\sin a < 0$
  • IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < a < 2\pi$ — $\sin a < 0$
• Если угол задан за пределами $0$ до $2\pi$, его можно привести к этому интервалу, добавляя или вычитая $2\pi$ (или $360^\circ$) столько раз, чтобы получить эквивалентный угол внутри одного полного оборота.

1) $a = \frac{5\pi}{4}$

• Проверяем, в какой четверти находится угол $\frac{5\pi}{4}$.
• Знаем, что $\pi = \frac{4\pi}{4}$, а $\frac{3\pi}{2} = \frac{6\pi}{4}$.
• Поскольку $\pi = \frac{4\pi}{4} < \frac{5\pi}{4} < \frac{6\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$, угол находится в III четверти.
• В III четверти $\sin a < 0$.

Ответ: $\sin a < 0$.

2) $a = -\frac{33\pi}{7}$

• Угол отрицательный, значит его нужно привести к положительному эквиваленту, добавляя $2\pi$ или кратные $2\pi$.
• $2\pi = \frac{14\pi}{7}$.
• Добавим $6 \cdot 2\pi = 6 \cdot \frac{14\pi}{7} = \frac{84\pi}{7}$ — слишком много, попробуем по шагам.
• Дано в решении:

  $$-\frac{33\pi}{7} + 6\pi = -\frac{33\pi}{7} + \frac{42\pi}{7} = \frac{9\pi}{7}$$

• Теперь $\frac{9\pi}{7}$ положительный угол.
• Определим четверть для $\frac{9\pi}{7}$:
• $\pi = \frac{7\pi}{7}$, $\frac{3\pi}{2} = \frac{10.5\pi}{7}$.
• Значит, $\pi < \frac{9\pi}{7} < \frac{3\pi}{2}$ — угол находится в III четверти.
• В III четверти $\sin a < 0$.

Ответ: $\sin a < 0$.

3) $a = -\frac{4}{3}\pi$

• Угол отрицательный, приведём его к положительному.
• $2\pi = \frac{6\pi}{3}$.
• Считаем:

  $$-\frac{4\pi}{3} + 2\pi = -\frac{4\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$$

• Теперь $a = \frac{2\pi}{3}$.
• Определим четверть для $\frac{2\pi}{3}$:
• $\frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{6} = \frac{1.5\pi}{3}\approx 1.57$, $\pi = 3.14$.
• $\frac{2\pi}{3} \approx 2.09$, что больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$.
• Значит, угол во II четверти.
• В II четверти $\sin a > 0$.

Ответ: $\sin a > 0$.

4) $a = -0.1\pi$

• Приведём к положительному углу:
• $a + 2\pi = -0.1\pi + 2\pi = 1.9\pi$.
• Определим четверть для $1.9\pi$:
• $\frac{3\pi}{2} = 1.5\pi$, $2\pi = 2\pi$.
• $1.5\pi < 1.9\pi < 2\pi$, значит угол находится в IV четверти.
• В IV четверти $\sin a < 0$.

Ответ: $\sin a < 0$.

5) $a = 5.1$ (радианы)

• Для сравнения используем приближённое значение $\pi \approx 3.14$.
• Найдём, в какой четверти находится 5.1:
• $1.5\pi = 1.5 \times 3.14 = 4.71$.
• $2\pi = 2 \times 3.14 = 6.28$.
• $4.71 < 5.1 < 6.28$, значит угол в IV четверти.
• В IV четверти $\sin a < 0$.

Ответ: $\sin a < 0$.

6) $a = -470^\circ$

• Приведём угол к диапазону от 0° до 360°.
• $360^\circ \times 2 = 720^\circ$.
• Считаем:

$$-470^\circ + 720^\circ = 250^\circ$$

• Теперь $250^\circ$ — положительный угол.
• Определим четверть:
• I четверть: $0^\circ — 90^\circ$
• II четверть: $90^\circ — 180^\circ$
• III четверть: $180^\circ — 270^\circ$
• IV четверть: $270^\circ — 360^\circ$
• $250^\circ$ лежит в III четверти.
• В III четверти $\sin a < 0$.

Ответ: $\sin a < 0$.