ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 443 Алимов — Подробные Ответы

Пусть 0 < а < пи/2. В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол:

1. пи/2 — a;
2. a- пи;
3. 3пи/2 — a;
4. пи/2 + a;
5. a-пи/2;
6. пи — a?

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $P(1; 0)$ на данный угол, если $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$:

1. $\frac{\pi}{2} — \alpha$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$;
   $0 < \frac{\pi}{2} — \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
2. $\alpha — \pi$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $-\pi < \alpha — \pi < -\frac{\pi}{2} \quad | + 2\pi$;
   $\pi < \alpha — \pi < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
3. $\frac{3\pi}{2} — \alpha$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$;
   $\pi < \frac{3\pi}{2} — \alpha < \frac{3\pi}{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
4. $\frac{\pi}{2} + \alpha$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
5. $\alpha — \frac{\pi}{2}$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < \alpha — \frac{\pi}{2} < 0 \quad | + 2\pi$;
   $\frac{3\pi}{2} < \alpha — \frac{\pi}{2} < 2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
6. $\pi — \alpha$;
   $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$;
   $-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$;
   $\frac{\pi}{2} < \pi — \alpha < \pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти

Задача:

Определить, в какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $P(1;0)$ на угол, выраженный через $\alpha$, при условии, что

$$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$$

Введение и напоминания:

• Точка $P(1;0)$ — точка на единичной окружности на положительной оси $OX$.
• Поворот точки на угол $\theta$ (в радианах) вокруг начала координат означает, что новая точка на окружности имеет угол $\theta$ относительно оси $OX$.
• Нужно определить четверть плоскости, в которой расположена точка после поворота.
• Четверти на окружности разделены так:
  • I четверть: $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$
  • II четверть: $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$
  • III четверть: $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$
  • IV четверть: $\frac{3\pi}{2} < \theta < 2\pi$

Метод:

Каждое выражение для угла записано через $\alpha$. При $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ нужно упростить и привести каждый угол к стандартному виду, проверить, к какой четверти он относится.

1) $\theta = \frac{\pi}{2} — \alpha$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Рассмотрим промежуток для $-\alpha$:

  $$-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$$

• Складываем с $\frac{\pi}{2}$:

  $$\frac{\pi}{2} + \left(-\alpha\right) = \frac{\pi}{2} — \alpha$$

• Таким образом:

  $$0 < \frac{\pi}{2} — \alpha < \frac{\pi}{2}$$

• Значит $\theta$ находится в интервале I четверти.
• Итог: точка после поворота находится в I четверти.

2) $\theta = \alpha — \pi$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Вычислим границы $\theta$:

  $$0 — \pi < \alpha — \pi < \frac{\pi}{2} — \pi$$ $$-\pi < \alpha — \pi < -\frac{\pi}{2}$$

• Угол отрицательный. Для определения четверти нормализуем угол, прибавив $2\pi$:

  $$\theta_{\text{норм}} = \alpha — \pi + 2\pi = \alpha + \pi$$

• Поскольку $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$, тогда:

  $$\pi < \alpha + \pi < \frac{3\pi}{2}$$

• Угол лежит в III четверти.
• Итог: точка после поворота находится в III четверти.

3) $\theta = \frac{3\pi}{2} — \alpha$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Рассмотрим $-\alpha$:

  $$-\frac{\pi}{2} < -\alpha < 0$$

• Прибавим $\frac{3\pi}{2}$:

  $$\pi < \frac{3\pi}{2} — \alpha < \frac{3\pi}{2}$$

• Значит угол лежит в III четверти.
• Итог: точка после поворота находится в III четверти.

4) $\theta = \frac{\pi}{2} + \alpha$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Прибавим:

  $$\frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} + \alpha < \pi$$

• Значит угол в интервале II четверти.
• Итог: точка после поворота находится во II четверти.

5) $\theta = \alpha — \frac{\pi}{2}$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Рассчитаем промежуток:

  $$0 — \frac{\pi}{2} < \alpha — \frac{\pi}{2} < \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2}$$ $$-\frac{\pi}{2} < \alpha — \frac{\pi}{2} < 0$$

• Угол отрицательный, нормализуем, добавляя $2\pi$:

  $$\theta_{\text{норм}} = \alpha — \frac{\pi}{2} + 2\pi$$

• Переведём $2\pi$ к шестидам:

  $$2\pi = \frac{4\pi}{2}$$

• Тогда:

  $$\frac{3\pi}{2} < \theta_{\text{норм}} < 2\pi$$

• Значит угол в IV четверти.
• Итог: точка после поворота находится в IV четверти.

6) $\theta = \pi — \alpha$

• Дано: $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$
• Рассчитаем промежуток:

  $$\pi — \frac{\pi}{2} < \pi — \alpha < \pi — 0$$ $$\frac{\pi}{2} < \pi — \alpha < \pi$$

• Значит угол во II четверти.
• Итог: точка после поворота находится во II четверти.