ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 442 Алимов — Подробные Ответы

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол а, если:

1. a=пи/6;
2. a=3пи/4;
3. a=-3пи/4;
4. a=7пи/6;
5. a=-7пи/6;
6. a=4,8;
7. a=-1,31;
8. a=-2,7.

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $P(1;0)$ на угол $\alpha$, если:

1. $\alpha =\frac{\pi }{6}$;
   $0<\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в I четверти;
2. $\alpha =\frac{3\pi }{4}$;
   $\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}<\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
3. $\alpha =-\frac{3\pi }{4}$;
   $2\pi -\frac{3\pi }{4}=\frac{8\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$;
   $\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
4. $\alpha =\frac{7\pi }{6}$;
   $\pi <\frac{7\pi }{6}<\frac{3\pi }{2}$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;
5. $\alpha =-\frac{7\pi }{6}$;
   $2\pi -\frac{7\pi }{6}=\frac{12\pi }{6}-\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$;
   $\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;
6. $\alpha =4.8$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $1.5\pi <4.8<2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
7. $\alpha =-1.31$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $2\pi -1.31\approx 6.28-1.31\approx 4.97$;
   $1.5\pi <4.97<2\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в IV четверти;
8. $\alpha =-2.7$;
   $\pi \approx 3.14$;
   $2\pi -2.7\approx 6.28-2.7\approx 3.58$;
   $\pi <3.58<1.5\pi$;
   Точка, полученная поворотом, находится в III четверти

Задача:

В какой четверти находится точка, полученная поворотом точки $P(1;0)$ на угол $\alpha$?

Общее понимание задачи:

• Начальная точка: $P(1;0)$ — это точка на единичной окружности на оси $OX$.
• Поворот точки на угол $\alpha$ вокруг начала координат соответствует перемещению точки по окружности против часовой стрелки, если угол положительный.
• Если угол $\alpha$ отрицательный, поворот происходит по часовой стрелке.
• Чтобы определить, в какой четверти окажется точка после поворота, нужно найти угол $\alpha$ в интервале от $0$ до $2\pi$ (нормализовать угол), а затем определить, к какой из 4 четвертей он относится.

Четверти в полярных координатах:

• I четверть: $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$
• II четверть: $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$
• III четверть: $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$
• IV четверть: $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$

Если угол отрицательный $\alpha <0$, то

нужно найти эквивалентный положительный угол:

$${\alpha }_{\text{полож}}=2\pi +\alpha$$

Поскольку $2\pi$ — полный оборот, добавляя $2\pi$ мы «вращаемся» на полный круг и получаем угол в диапазоне $[0,2\pi )$

Решение для каждого случая:

1) $\alpha =\frac{\pi }{6}$

• Проверяем, в каком промежутке угол:$$0<\frac{\pi }{6}<\frac{\pi }{2}$$
• Значит угол находится в I четверти.
• Ответ: Точка в I четверти.

2) $\alpha =\frac{3\pi }{4}$

• Проверяем промежуток:$$\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{4}<\pi$$
• Значит угол во II четверти.
• Ответ: Точка во II четверти.

3) $\alpha =-\frac{3\pi }{4}$

• Угол отрицательный, нужно нормализовать:$${\alpha }_{\text{полож}}=2\pi -\frac{3\pi }{4}$$
• Считаем:$$2\pi =\frac{8\pi }{4}$$$${\alpha }_{\text{полож}}=\frac{8\pi }{4}-\frac{3\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$$
• Проверяем промежуток:$$\pi <\frac{5\pi }{4}<\frac{3\pi }{2}$$
• Значит угол в III четверти.
• Ответ: Точка в III четверти.

4) $\alpha =\frac{7\pi }{6}$

• Проверяем промежуток:$$\pi <\frac{7\pi }{6}<\frac{3\pi }{2}$$
• Значит угол в III четверти.
• Ответ: Точка в III четверти.

5) $\alpha =-\frac{7\pi }{6}$

• Отрицательный угол, нормализуем:$${\alpha }_{\text{полож}}=2\pi -\frac{7\pi }{6}$$
• Считаем:$$2\pi =\frac{12\pi }{6}$$$${\alpha }_{\text{полож}}=\frac{12\pi }{6}-\frac{7\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$$
• Проверяем промежуток:$$\frac{\pi }{2}<\frac{5\pi }{6}<\pi$$
• Значит угол во II четверти.
• Ответ: Точка во II четверти.

6) $\alpha =4.8$ (в радианах)

• Приблизительные значения:$$\pi \approx 3.14,1.5\pi =\frac{3\pi }{2}\approx 4.71,2\pi \approx 6.28$$
• Проверяем, где 4.8:$$1.5\pi \approx 4.71<4.8<2\pi \approx 6.28$$
• Значит угол в IV четверти.
• Ответ: Точка в IV четверти.

7) $\alpha =-1.31$

• Отрицательный угол, нормализуем:$${\alpha }_{\text{полож}}=2\pi -1.31\approx 6.28-1.31=4.97$$
• Снова проверяем четверть:$$1.5\pi \approx 4.71<4.97<2\pi \approx 6.28$$
• Значит угол в IV четверти.
• Ответ: Точка в IV четверти.

8) $\alpha =-2.7$

• Отрицательный угол, нормализуем:$${\alpha }_{\text{полож}}=2\pi -2.7\approx 6.28-2.7=3.58$$
• Проверяем промежуток:$$\pi \approx 3.14<3.58<1.5\pi \approx 4.71$$
• Значит угол в III четверти.
• Ответ: Точка в III четверти.