ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 437 Алимов — Подробные Ответы

Найти значение выражения:

1. 2sina + корень cosa при a=пи/4;
2. 0,5cosa — корень 3 sina при a=60;
3. sin3a — cos2a при a=пи/6;
4. cosa/2 + sina/3 при a=пи/2.

1. $2 \sin a + \sqrt{2} \cos a$ при $a = \frac{\pi}{4}$;
   $2 \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2} + \frac{2}{2} = \sqrt{2} + 1$;
2. $0,5 \cos a — \sqrt{3} \sin a$ при $a = 60^\circ$;
   $0,5 \cos 60^\circ — \sqrt{3} \sin 60^\circ = 0,5 \cdot \frac{1}{2} — \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{4} — \frac{3}{2} = \frac{1}{4} — \frac{6}{4} = -\frac{5}{4} = -1,25$;
3. $\sin 3a — \cos 2a$ при $a = \frac{\pi}{6}$;
   $\sin \frac{3\pi}{6} — \cos \frac{2\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{2} — \cos \frac{\pi}{3} = 1 — \frac{1}{2} = 1 — 0,5 = 0,5$;
4. $\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{3}$ при $a = \frac{\pi}{2}$;
   $\cos \frac{\pi/2}{2} + \sin \frac{\pi/2}{3} = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1)$

1) Вычислить выражение

$$2 \sin a + \sqrt{2} \cos a$$

при

$$a = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 1: Подставляем $a = \frac{\pi}{4}$ в выражение:

$$2 \sin \frac{\pi}{4} + \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Вспоминаем значения тригонометрических функций для угла $\frac{\pi}{4}$ (45°):

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 3: Подставляем найденные значения:

$$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 4: Упрощаем произведения:

• $2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$,
• $\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1.$

Шаг 5: Складываем результаты:

$$\sqrt{2} + 1.$$

Ответ:

$$\boxed{\sqrt{2} + 1}.$$

2) Вычислить выражение

$$0,5 \cos a — \sqrt{3} \sin a$$

при

$$a = 60^\circ.$$

Шаг 1: Подставляем $a = 60^\circ$:

$$0,5 \cos 60^\circ — \sqrt{3} \sin 60^\circ.$$

Шаг 2: Значения тригонометрических функций при $60^\circ$:

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 3: Подставляем значения в выражение:

$$0,5 \cdot \frac{1}{2} — \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 4: Вычисляем произведения:

• $0,5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{0,5}{2} = 0,25 = \frac{1}{4}$,
• $\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}.$

Шаг 5: Подставляем вычисленные значения обратно:

$$\frac{1}{4} — \frac{3}{2}.$$

Шаг 6: Приводим к общему знаменателю $4$:

$$\frac{1}{4} — \frac{3}{2} = \frac{1}{4} — \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{1}{4} — \frac{6}{4} = -\frac{5}{4}.$$

Шаг 7: Переводим в десятичную дробь:

$$-\frac{5}{4} = -1,25.$$

Ответ:

$$\boxed{-1,25}.$$

3) Вычислить выражение

$$\sin 3a — \cos 2a$$

при

$$a = \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 1: Подставляем $a = \frac{\pi}{6}$:

$$\sin 3 \cdot \frac{\pi}{6} — \cos 2 \cdot \frac{\pi}{6} = \sin \frac{3\pi}{6} — \cos \frac{2\pi}{6}.$$

Шаг 2: Упрощаем аргументы тригонометрических функций:

$$\sin \frac{3\pi}{6} = \sin \frac{\pi}{2}, \quad \cos \frac{2\pi}{6} = \cos \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 3: Значения тригонометрических функций:

$$\sin \frac{\pi}{2} = 1, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Подставляем:

$$1 — \frac{1}{2} = \frac{2}{2} — \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 5: Переводим в десятичную дробь:

$$\frac{1}{2} = 0,5.$$

Ответ:

$$\boxed{0,5}.$$

4) Вычислить выражение

$$\cos \frac{a}{2} + \sin \frac{a}{3}$$

при

$$a = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 1: Подставляем $a = \frac{\pi}{2}$:

$$\cos \frac{\pi/2}{2} + \sin \frac{\pi/2}{3} = \cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2: Значения тригонометрических функций:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 3: Подставляем:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}.$$

Шаг 4: Выносим общий множитель $\frac{1}{2}$:

$$\frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1).$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{1}{2} (\sqrt{2} + 1)}.$$