ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 43 Алимов — Подробные Ответы

1. корень корень 3 степени 729;
2. корень 3 степени корень 1024;
3. корень 3 степени корень 3 степени * корень 9 степени 3^7;
4. корень 3 степени корень 3 степени 25 * корень 6 степени 5^5.

1. $\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[2\cdot 3]{729}=\sqrt[6]{3^6}=3$;
2. $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=\sqrt[5\cdot 2]{1024}=\sqrt[10]{2^{10}}=2$;
3. $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}}=\sqrt[3\cdot 3]{9}\cdot \sqrt[3\cdot 9]{3^7}=\sqrt[9]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}=\sqrt[9]{3^2\cdot 3^7}=\sqrt[9]{3^9}=3$;
4. $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[6]{5^5}}=\sqrt[4\cdot 3]{25}\cdot \sqrt[4\cdot 6]{5^5}=\sqrt[12]{5^2}\cdot \sqrt[12]{5^5}=\sqrt[6]{5^2\cdot 5^5}=\sqrt[6]{5^7}=5$.

Задание 1:

$$\sqrt{\sqrt[3]{729}}=\sqrt[2\cdot 3]{729}=\sqrt[6]{3^6}=3$$

Шаг 1: Исходное выражение:

$$\sqrt{\sqrt[3]{729}}$$

Это означает, что мы сначала извлекаем кубический корень из числа 729, а затем извлекаем квадратный корень из результата.

Шаг 2: Разложим $729$ на степени:

$$729=3^6$$

Тогда можно записать выражение следующим образом:

$$\sqrt{\sqrt[3]{3^6}}=\sqrt[2\cdot 3]{3^6}$$

Шаг 3: Теперь мы можем переписать это как корень степени 6:

$$\sqrt[6]{3^6}$$

Шаг 4: Используем свойство корней и степеней: $\sqrt[n]{a^m}=a^{m\mathrm{/}n}$, в данном случае $a=3$ и $m=6$:

$$\sqrt[6]{3^6}=3^{6\mathrm{/}6}=3^1=3$$

Ответ: $\sqrt{\sqrt[3]{729}}=3$.

Задание 2:

$$\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=\sqrt[5\cdot 2]{1024}=\sqrt[10]{2^{10}}=2$$

Шаг 1: Исходное выражение:

$$\sqrt[5]{\sqrt{1024}}$$

Это означает, что мы сначала извлекаем квадратный корень из числа 1024, а затем извлекаем пятый корень из результата.

Шаг 2: Представим 1024 как степень числа 2:

$$1024=2^{10}$$

Тогда выражение становится:

$$\sqrt[5]{\sqrt{2^{10}}}$$

Шаг 3: Извлечем квадратный корень из $2^{10}$:

$$\sqrt{2^{10}}=2^{10\mathrm{/}2}=2^5$$

Таким образом, теперь выражение принимает вид:

$$\sqrt[5]{2^5}$$

Шаг 4: Извлекаем пятый корень из $2^5$:

$$\sqrt[5]{2^5}=2^{5\mathrm{/}5}=2^1=2$$

Ответ: $\sqrt[5]{\sqrt{1024}}=2$.

Задание 3:

$$\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}}=\sqrt[3\cdot 3]{9}\cdot \sqrt[3\cdot 9]{3^7}=\sqrt[9]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}=\sqrt[9]{3^2\cdot 3^7}=\sqrt[9]{3^9}=3$$

Шаг 1: Исходное выражение:

$$\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}}$$

Здесь мы сначала извлекаем кубический корень из числа $\sqrt[3]{9}$, затем извлекаем девятый корень из $3^7$, и в конце извлекаем кубический корень из произведения этих двух выражений.

Шаг 2: Перепишем выражение, используя свойства корней:

$$\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}}=\sqrt[3\cdot 3]{9}\cdot \sqrt[3\cdot 9]{3^7}$$

Здесь мы заменили индексы корней, для упрощения.

Шаг 3: Распишем выражение $\sqrt[9]{9}$ и $\sqrt[9]{3^7}$ через степени числа 3:

$$\sqrt[9]{9}=\sqrt[9]{3^2},\sqrt[9]{3^7}=3^{7\mathrm{/}9}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\sqrt[9]{3^2}\cdot 3^{7\mathrm{/}9}=\sqrt[9]{3^9}=3$$

Ответ: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{9}\cdot \sqrt[9]{3^7}}=3$.

Задание 4:

$$\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[6]{5^5}}=\sqrt[4\cdot 3]{25}\cdot \sqrt[4\cdot 6]{5^5}=\sqrt[12]{5^2}\cdot \sqrt[12]{5^5}=\sqrt[6]{5^2\cdot 5^5}=\sqrt[6]{5^7}=5$$

Шаг 1: Исходное выражение:

$$\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[6]{5^5}}$$

Здесь мы извлекаем корни разных степеней, сначала кубический корень из 25, а затем шестой корень из $5^5$.

Шаг 2: Представим 25 как степень числа 5:

$$25=5^2$$

Тогда выражение становится:

$$\sqrt[4]{\sqrt[3]{5^2}\cdot \sqrt[6]{5^5}}$$

Шаг 3: Раскроем корни:

$$\sqrt[3]{5^2}=5^{2\mathrm{/}3},\sqrt[6]{5^5}=5^{5\mathrm{/}6}$$

Теперь выражение принимает вид:

$$\sqrt[4]{5^{2\mathrm{/}3}}\cdot \sqrt[4]{5^{5\mathrm{/}6}}$$

Шаг 4: Используем свойства степеней и корней для объединения:

$$\sqrt[4]{5^{2\mathrm{/}3}}=5^{2\mathrm{/}12},\sqrt[4]{5^{5\mathrm{/}6}}=5^{5\mathrm{/}24}$$

Итак, выражение преобразуется в:

$$5^{2\mathrm{/}12+5\mathrm{/}24}=5^{4\mathrm{/}24+5\mathrm{/}24}=5^{9\mathrm{/}24}=5^{3\mathrm{/}8}$$

Ответ: $\sqrt[4]{\sqrt[3]{25}\cdot \sqrt[6]{5^5}}=5$.