ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 428 Алимов — Подробные Ответы

Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами:

1. (корень 2/2; -корень 2/2);
2. (-корень 2/2; -корень 2/2);
3. (-1/2; -корень 3/2);
4. (-корень 3/2; -1/2).

Записать все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1.

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right);$$

Острый угол между радиусом к точке $P$ и осью $Ox$:

$$\left| -\frac{\sqrt{2}}{2} \right| = \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = |y| \quad \Rightarrow \quad |a| = 45^\circ;$$

Так как $y < 0$ и $x > 0$, то точка $P$ лежит в IV четверти:

$$a = -45^\circ = -\frac{\pi \cdot 45}{180} = -\frac{\pi}{4};$$

Ответ:

$$a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k.$$

2.

$$\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right);$$

Острый угол между радиусом к точке $P$ и осью $Ox$:

$$|x| = |y| \quad \Rightarrow \quad |a| = 45^\circ;$$

Так как $y < 0$ и $x < 0$, то точка $P$ лежит в III четверти:

$$a = -180^\circ + 45^\circ = -135^\circ = -\frac{\pi \cdot 135}{180} = -\frac{3\pi}{4};$$

Ответ:

$$a = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k.$$

3.

$$\left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right);$$

Острый угол между радиусом к точке $P$ и осью $Ox$:

$$\left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} = \frac{R}{2} \quad \Rightarrow \quad |x| = \frac{R}{2} \quad \Rightarrow \quad |a| = 90^\circ — 30^\circ = 60^\circ;$$

Так как $y < 0$ и $x < 0$, то точка $P$ лежит в III четверти:

$$a = -180^\circ + 60^\circ = -120^\circ = -\frac{\pi \cdot 120}{180} = -\frac{2\pi}{3};$$

Ответ:

$$a = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k.$$

4.

$$\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right);$$

Острый угол между радиусом к точке $P$ и осью $Ox$:

$$\left| -\frac{1}{2} \right| = \frac{1}{2} = \frac{R}{2} \quad \Rightarrow \quad |y| = \frac{R}{2} \quad \Rightarrow \quad |a| = 30^\circ;$$

Так как $y < 0$ и $x < 0$, то точка $P$ лежит в III четверти:

$$a = -180^\circ + 30^\circ = -150^\circ = -\frac{\pi \cdot 150}{180} = -\frac{5\pi}{6};$$

Ответ:

$$a = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k.$$

Условие задачи:

Дана точка $P(1; 0)$ на единичной окружности (радиус $R = 1$, центр в начале координат). Нужно найти все углы $a$, на которые нужно повернуть точку $P$ против часовой стрелки, чтобы получить точку с заданными координатами $(x; y)$.

Основные формулы и понятия:

• Координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом на угол $a$, задаются формулой:

$$(x; y) = (\cos a; \sin a)$$

• Угол $a$ измеряется против часовой стрелки от положительного направления оси $Ox$.
• Для определения угла $a$ по координатам точки используем обратные тригонометрические функции и анализ положения точки по знакам $x$ и $y$.
• Знак $y$ и $x$ определяют четверть, в которой находится точка:

Решение по пунктам:

1) Координаты точки:

$$\left( \frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Шаг 1: Проверка радиуса

Проверим, что точка лежит на единичной окружности:

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \sqrt{1} = 1$$

Окружность единичная — условие выполнено.

Шаг 2: Определение острого угла

По модулю $x$ и $y$:

$$|x| = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad |y| = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Поскольку $|x| = |y|$, угол $a$ в абсолютном значении равен $45^\circ$ или $\frac{\pi}{4}$ радиан, так как

$$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Определение четверти

• $x > 0$
• $y < 0$

Это IV четверть.

Углы в IV четверти отрицательны по условию $-\frac{\pi}{2} < a < 0$.

Шаг 4: Итоговый угол

$$a = -45^\circ = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 5: Общий вид угла с учётом периодичности

Углы, отличающиеся на целое число полных оборотов $2\pi$, эквивалентны:

$$a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{a = -\frac{\pi}{4} + 2\pi k}$$

2) Координаты точки:

$$\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$$

Шаг 1: Проверка радиуса

$$R = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2} = 1$$

Шаг 2: Определение острого угла

Опять

$$|x| = |y| = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

значит, $|a| = 45^\circ = \frac{\pi}{4}$.

Шаг 3: Определение четверти

• $x < 0$
• $y < 0$

III четверть.

Шаг 4: Определение угла в III четверти

Углы в III четверти лежат в диапазоне $\pi < a < \frac{3\pi}{2}$, или эквивалентно в интервале $-\pi < a < -\frac{\pi}{2}$.

В градусах:

$$a = -180^\circ + 45^\circ = -135^\circ$$

В радианах:

$$a = -\frac{3\pi}{4}$$

Шаг 5: Общий вид угла

$$a = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{a = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi k}$$

3) Координаты точки:

$$\left( -\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} \right)$$

Шаг 1: Проверка радиуса

$$R = \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = 1$$

Шаг 2: Определение острого угла

Вспомним стандартные значения косинуса и синуса:

$$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Величина $|x| = \frac{1}{2}$ — соответствует $60^\circ$.

Шаг 3: Определение четверти

• $x < 0$
• $y < 0$

III четверть.

Шаг 4: Определение угла

Угол в III четверти:

$$a = -180^\circ + 60^\circ = -120^\circ$$

В радианах:

$$a = -\frac{2\pi}{3}$$

Шаг 5: Общий вид угла

$$a = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{a = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k}$$

4) Координаты точки:

$$\left( -\frac{\sqrt{3}}{2}; -\frac{1}{2} \right)$$

Шаг 1: Проверка радиуса

$$R = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4}} = 1$$

Шаг 2: Определение острого угла

Здесь $|y| = \frac{1}{2}$ — это $30^\circ$ (так как $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$).

Шаг 3: Определение четверти

• $x < 0$
• $y < 0$

III четверть.

Шаг 4: Определение угла

Угол в III четверти:

$$a = -180^\circ + 30^\circ = -150^\circ$$

В радианах:

$$a = -\frac{5\pi}{6}$$

Шаг 5: Общий вид угла

$$a = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$\boxed{a = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k}$$