ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 426 Алимов — Подробные Ответы

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р (1; 0) на угол:

1. 4,5пи;
2. 5,5пи;
3. -6пи;
4. -7пи.

1) $a = 4,5\pi = 0,5\pi + 4\pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$;

$a_0 = \frac{\pi}{2} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{2} \right)^{\circ} = \left( \frac{180}{2} \right)^{\circ} = 90^{\circ}$;
Точка $P$ повернется на угол $90^{\circ}$, против часовой стрелки:

2) $a = 5,5\pi = 1,5\pi + 4\pi = \frac{3\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$;

$a_0 = \frac{3\pi}{2} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{2} \right)^{\circ} = (90 \cdot 3)^{\circ} = 270^{\circ}$;
$a_1 = 270^{\circ} — 360^{\circ} = -90^{\circ}$;
Точка $P$ повернется на угол $90^{\circ}$, по часовой стрелке:

3) $a = -6\pi = 0 — 6\pi = 0 — 3 \cdot 2\pi$;

$a_0 = 0$;
Точка $P$ останется на прежнем месте:

4) $a = -7\pi = \pi — 8\pi = \pi — 4 \cdot 2\pi$;

$a = \pi = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \pi \right)^{\circ} = 180^{\circ}$;
Точка $P$ повернется на угол $180^{\circ}$:

Условие задачи:

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $a$.

Основная идея:

Точка $P$ лежит на единичной окружности, значит её координаты при угле $\theta$ относительно положительного направления оси $x$ задаются:

$$P(\cos \theta; \sin \theta)$$

В исходном положении точка $P$ находится на угле $0$ (то есть $P(1; 0)$).

Нам нужно повернуть точку $P$ на угол $a$ (в радианах) и найти новые координаты точки после поворота:

$$P’ = (\cos a; \sin a)$$

Объяснение задачи и как считать угол $a$:

Часто угол $a$ задается большим числом, превышающим $2\pi$, или отрицательным. Поскольку поворот на $2\pi$ (360°) — это полный оборот, который возвращает точку на то же место, то угол можно привести к эквивалентному углу $a_0$ на промежутке $[0, 2\pi)$ или $(-\pi, \pi]$, убрав целые обороты.

Подробное решение для каждого из случаев:

1)

$$a = 4,5\pi = 0,5\pi + 4\pi = \frac{\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$$

• $4\pi$ — это $2$ полных оборота (каждый оборот $2\pi$).
• Угол поворота можно свести к $a_0 = \frac{\pi}{2}$.

Переводим радианы в градусы:

$$a_0 = \frac{\pi}{2} = \frac{180}{\pi} \times \frac{\pi}{2} = 90^\circ$$

Это значит, что точка $P$ поворачивается на $90^\circ$ против часовой стрелки (положительное направление углов — против часовой стрелки).

Новые координаты точки $P’$:

$$P’ = (\cos \frac{\pi}{2}; \sin \frac{\pi}{2}) = (0; 1)$$

То есть точка переместилась с $(1; 0)$ в верхнюю точку окружности.

2)

$$a = 5,5\pi = 1,5\pi + 4\pi = \frac{3\pi}{2} + 2 \cdot 2\pi$$

• Аналогично, $4\pi$ — это два полных оборота.
• Значит, можно рассмотреть угол

$$a_0 = \frac{3\pi}{2}$$

Переводим в градусы:

$$a_0 = \frac{3\pi}{2} = \frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{2} = 270^\circ$$

Это угол в градусах, но 270° — это поворот против часовой стрелки на $270^\circ$, что эквивалентно повороту по часовой стрелке на

$$a_1 = 270^\circ — 360^\circ = -90^\circ$$

Значит точка $P$ поворачивается на $90^\circ$ по часовой стрелке.

Новые координаты точки $P’$:

Поворот по часовой стрелке на $90^\circ$ (или на $-\frac{\pi}{2}$ в радианах):

$$P’ = (\cos(-\frac{\pi}{2}); \sin(-\frac{\pi}{2})) = (0; -1)$$

Точка переместилась в нижнюю точку окружности.

3)

$$a = -6\pi = 0 — 6\pi = 0 — 3 \cdot 2\pi$$

Здесь:

• Угол поворота — $-6\pi$ (три полных оборота по часовой стрелке).
• Так как полный оборот — $2\pi$, мы можем свести угол к

$$a_0 = 0$$

Точка не изменит положение, так как три полных оборота возвращают её в начальную точку:

$$P^{\mathrm{\prime }}=(\cos 0;\sin 0)=(1;0)$$

$$P’ = (\cos 0; \sin 0) = (1; 0)$$

4)

$$a = -7\pi = \pi — 8\pi = \pi — 4 \cdot 2\pi$$

Приведём угол к эквивалентному:

• Вычитаем полные обороты $8\pi = 4 \cdot 2\pi$, останется

$$a = \pi$$

Перевод в градусы:

$$a = \pi = \frac{180}{\pi} \times \pi = 180^\circ$$

Точка $P$ повернется на $180^\circ$ (против часовой стрелки или по часовой — неважно, результат одинаков):

Новые координаты точки $P’$:

$$P’ = (\cos \pi; \sin \pi) = (-1; 0)$$

Точка переместилась в противоположную точку окружности слева.

Итог: