ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 425 Алимов — Подробные Ответы

Найти число х > где 0 < = х < 2пи, и натуральное число А, такие, чтобы выполнялось равенство а = х + 2пиk, если:

1. a=9,8пи;
2. a=7пи/3;
3. a=11пи/2;
4. a= 17пи/3.

Найти число $x$, где $0 \leq x < 2\pi$ и натуральное число $k$, такие, чтобы выполнялось равенство $a = x + 2\pi k$, если:

1. $a = 9,8\pi = 1,8\pi + 8\pi = \frac{18}{10}\pi + 8\pi = \frac{9\pi}{5} + 2\pi \cdot 4$;
   Ответ: $x = \frac{9\pi}{5}$; $k = 4$.
2. $a = 7\frac{1}{3}\pi = 1\frac{1}{3}\pi + 6\pi = \frac{4\pi}{3} + 2\pi \cdot 3$;
   Ответ: $x = \frac{4\pi}{3}$; $k = 3$.
3. $a = \frac{11}{2}\pi = \frac{3\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + 4\pi = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \cdot 2$;
   Ответ: $x = \frac{3\pi}{2}$; $k = 2$.
4. $a = \frac{17}{3}\pi = \frac{5\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{5\pi}{3} + 4\pi = \frac{5\pi}{3} + 2\pi \cdot 2$;
   Ответ: $x = \frac{5\pi}{3}$; $k = 2$.

Условие задачи:

Найти числа $x$ и $k$, где $0 \leq x < 2\pi$ и $k$ — натуральное число (то есть $k = 1, 2, 3, \ldots$), такие, чтобы выполнялось равенство:

$$a = x + 2\pi k$$

для заданного значения $a$.

Что это значит?

Число $a$ — это угол в радианах. Угол $x$ — это угол, приведённый к промежутку от 0 (включительно) до $2\pi$ (исключительно). А $k$ — это количество полных оборотов вокруг окружности (каждый полный оборот равен $2\pi$ радиан).

Наша задача — представить угол $a$ в виде суммы угла $x$ (основного угла) и целого количества полных оборотов $2\pi k$

Пример 1:

Дано:

$$a = 9,8\pi$$

Нужно найти $x$ и $k$, чтобы:

$$9,8\pi = x + 2\pi k, \quad 0 \leq x < 2\pi, \quad k \in \mathbb{N}$$

Шаг 1: Запишем $a$ в дробном виде

9,8 — десятичное число, можно записать в виде дроби:

$$9,8 = \frac{98}{10} = \frac{49}{5}$$

Значит

$$a = 9,8\pi = \frac{49}{5} \pi$$

Шаг 2: Представим $a$ как сумму $x + 2\pi k$

Нужно выделить целое количество $2\pi$, то есть найти $k$, такое, что разница

$$x = a — 2\pi k$$

лежит в интервале $[0, 2\pi)$.

Для этого сначала разделим коэффициент при $\pi$ — число $\frac{49}{5}$ — на 2, чтобы узнать, сколько полных $2\pi$ (или 2) умещается в числе $\frac{49}{5}$.

$$\frac{49}{5} \div 2 = \frac{49}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{49}{10} = 4,9$$

То есть полный множитель $k$ — целая часть 4, потому что $k$ — натуральное число и не превышает $\frac{49}{10}$.

Шаг 3: Найдем $x$

Подставляем $k = 4$:

$$x = a — 2\pi k = \frac{49}{5} \pi — 2\pi \cdot 4 = \frac{49}{5} \pi — 8\pi$$

Приведём $8\pi$ к общему знаменателю:

$$8\pi = \frac{40}{5}\pi$$

Теперь вычисляем $x$:

$$x = \frac{49}{5}\pi — \frac{40}{5}\pi = \frac{9}{5}\pi$$

Шаг 4: Проверка интервала

Проверяем, что $x \in [0, 2\pi)$:

$$0 \leq \frac{9}{5}\pi < 2\pi$$

Так как $\frac{9}{5} = 1,8$, то $\frac{9}{5}\pi = 1,8\pi$, а $2\pi = 2\pi$. Значит условие выполнено.

Ответ:

$$x = \frac{9\pi}{5}, \quad k = 4$$

Пример 2:

Дано:

$$a = 7\frac{1}{3} \pi$$

Шаг 1: Запишем $a$ в неправильной дроби

Сначала переведём смешанное число $7\frac{1}{3}$ в неправильную дробь:

$$7\frac{1}{3} = \frac{7 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{21 + 1}{3} = \frac{22}{3}$$

Значит:

$$a = \frac{22}{3} \pi$$

Шаг 2: Найдем $k$

Разделим коэффициент при $\pi$ на 2:

$$\frac{22}{3} \div 2 = \frac{22}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3,666…$$

Целая часть $k = 3$.

Шаг 3: Найдем $x$

$$x = a — 2\pi k = \frac{22}{3} \pi — 2\pi \cdot 3 = \frac{22}{3}\pi — 6\pi$$

Приводим к общему знаменателю:

$$6\pi = \frac{18}{3}\pi$$

Вычисляем:

$$x = \frac{22}{3}\pi — \frac{18}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi$$

Шаг 4: Проверка интервала

Проверяем, что:

$$0 \leq \frac{4}{3}\pi < 2\pi$$

Число $\frac{4}{3} \approx 1,333$, а $2 = 2$. Значит условие выполняется.

Ответ:

$$x = \frac{4\pi}{3}, \quad k = 3$$

Пример 3:

Дано:

$$a = \frac{11}{2}\pi$$

Шаг 1: Найдем $k$

Делим коэффициент на 2:

$$\frac{11}{2} \div 2 = \frac{11}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{11}{4} = 2,75$$

Целая часть $k = 2$.

Шаг 2: Найдем $x$

$$x = a — 2\pi k = \frac{11}{2}\pi — 2\pi \cdot 2 = \frac{11}{2}\pi — 4\pi$$

Приводим к общему знаменателю:

$$4\pi = \frac{8}{2}\pi$$

Вычисляем:

$$x = \frac{11}{2}\pi — \frac{8}{2}\pi = \frac{3}{2}\pi$$

Шаг 3: Проверка интервала

$$0 \leq \frac{3}{2}\pi < 2\pi$$

Так как $\frac{3}{2} = 1,5 < 2$, условие выполнено.

Ответ:

$$x = \frac{3\pi}{2}, \quad k = 2$$

Пример 4:

Дано:

$$a = \frac{17}{3}\pi$$

Шаг 1: Найдем $k$

Делим коэффициент на 2:

$$\frac{17}{3} \div 2 = \frac{17}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{17}{6} \approx 2,8333$$

Целая часть $k = 2$.

Шаг 2: Найдем $x$

$$x = a — 2\pi k = \frac{17}{3}\pi — 2\pi \cdot 2 = \frac{17}{3}\pi — 4\pi$$

Приводим к общему знаменателю:

$$4\pi = \frac{12}{3}\pi$$

Вычисляем:

$$x = \frac{17}{3}\pi — \frac{12}{3}\pi = \frac{5}{3}\pi$$

Шаг 3: Проверка интервала

$$0 \leq \frac{5}{3}\pi < 2\pi$$

Так как $\frac{5}{3} \approx 1,666 < 2$, условие выполнено.

Ответ:

$$x = \frac{5\pi}{3}, \quad k = 2$$