ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 424 Алимов — Подробные Ответы

Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р (1; 0) на угол:

1. 1;
2. 2,75;
3. 3,16;
4. 4,95.

Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки $P(1; 0)$ на угол:

1. $a = 1$;
   $\pi \approx 3{,}14$;
   $0 < 2 < \pi$;
   $0 < 1 < \frac{\pi}{2}$;
   Ответ: I четверть.
2. $a = 2,75$;
   $\pi \approx 3{,}14$;
   $\pi < 5,5 < 2\pi$;
   $\frac{\pi}{2} < 2,75 < \pi$;
   Ответ: II четверть.
3. $a = 3,16$;
   $\pi \approx 3{,}14$;
   $2\pi < 6,32 < 3\pi$;
   $\pi < 3,14 < \frac{3\pi}{2}$;
   Ответ: III четверть.
4. $a = 4,95$;
   $\pi \approx 3{,}14$;
   $3\pi < 9,9 < 4\pi$;
   $\frac{3\pi}{2} < 4,95 < 2\pi$;
   Ответ: IV четверть.

Задача:

Определить четверть, в которой расположена точка на единичной окружности, полученная поворотом точки $P(1;0)$ вокруг начала координат на угол $a$.

Основные сведения:

• Точка $P(1;0)$ лежит на единичной окружности, на положительном направлении оси $Ox$.
• Поворот точки на угол $a$ против часовой стрелки переводит её в точку с координатами:

$$(\cos a, \sin a)$$

• Для определения четверти достаточно определить знак координат $\cos a$ и $\sin a$.
• Четверти координатной плоскости:

Числовые приближения для удобства:

$$\pi \approx 3{,}14$$ $$2\pi \approx 6{,}28$$ $$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$$ $$\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$$

Решение для каждого угла:

1) $a = 1$

• Проверяем, в какой интервал попадает угол $a = 1$.
• По числам:

$$0 < 1 < \frac{\pi}{2} \approx 1{,}57$$

• Значит угол лежит в интервале $(0; \frac{\pi}{2})$ — первая четверть.
• Следовательно:

$$\cos 1 > 0, \quad \sin 1 > 0$$

• Точка после поворота лежит в I четверти.

2) $a = 2,75$

• Проверим положение угла $2{,}75$:

$$\frac{\pi}{2} \approx 1{,}57 < 2{,}75 < 3{,}14 \approx \pi$$

• Значит $a \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi \right)$ — вторая четверть.
• Следовательно:

$$\cos 2{,}75 < 0, \quad \sin 2{,}75 > 0$$

• Точка находится во II четверти.

3) $a = 3,16$

• Проверим $3{,}16$:

$$3{,}14 \approx \pi < 3{,}16 < \frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71$$

• Значит угол $a \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ — третья четверть.
• Следовательно:

$$\cos 3{,}16 < 0, \quad \sin 3{,}16 < 0$$

• Точка лежит в III четверти.

4) $a = 4,95$

• Проверим $4{,}95$:

$$\frac{3\pi}{2} \approx 4{,}71 < 4{,}95 < 6{,}28 \approx 2\pi$$

• Значит $a \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi \right)$ — четвёртая четверть.
• Следовательно:

$$\cos 4{,}95 > 0, \quad \sin 4{,}95 < 0$$

• Точка находится в IV четверти.

Итог: