ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 423 Алимов — Подробные Ответы

Найти все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1; 0), чтобы получить точку с координатами:

1. (1; 0);
2. (-1; 0);
3. (0; 1);
4. (0; -1).

Найти все углы, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$, чтобы получить точку с координатами:

1. $(1; 0)$;
   Один из возможных углов поворота равен $0$;
   Ответ: $a = 2\pi k$.
2. $(-1; 0)$;
   Один из возможных углов поворота равен $\pi$;
   Ответ: $a = \pi + 2\pi k$.
3. $(0; 1)$;
   Один из возможных углов поворота равен $\frac{\pi}{2}$;
   Ответ: $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.
4. $(0; -1)$;
   Один из возможных углов поворота равен $-\frac{\pi}{2}$;
   Ответ: $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Задача:

Найти все углы $a$, на которые нужно повернуть точку $P(1; 0)$ вокруг начала координат, чтобы получить новые координаты точки, заданные в каждом из случаев.

Предварительные сведения:

Поворот точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $a$ против часовой стрелки задаётся формулой:

$$\begin{cases} x’ = x \cos a — y \sin a \\ y’ = x \sin a + y \cos a \end{cases}$$

В нашем случае исходная точка $P(1; 0)$, то есть $x = 1$, $y = 0$.

Подставим в формулы:

$$\begin{cases} x’ = 1 \cdot \cos a — 0 \cdot \sin a = \cos a \\ y’ = 1 \cdot \sin a + 0 \cdot \cos a = \sin a \end{cases}$$

То есть после поворота координаты новой точки:

$$(x’, y’) = (\cos a, \sin a)$$

Теперь для каждого случая нам нужно найти все углы $a$, при которых

$$(\cos a, \sin a) = (x_{\text{задано}}, y_{\text{задано}})$$

Случай 1: $(1; 0)$

Искомая точка после поворота должна быть:

$$(\cos a, \sin a) = (1, 0)$$

Значит:

$$\cos a = 1, \quad \sin a = 0$$

Где в тригонометрии это верно?

• Косинус равен 1 при $a = 0 + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$
• Синус равен 0 при $a = 0 + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$

Пересечение этих условий — угол $a = 0 + 2\pi k$.

Ответ:

$$a = 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Случай 2: $(-1; 0)$

Требуется:

$$(\cos a, \sin a) = (-1, 0)$$

Значит:

$$\cos a = -1, \quad \sin a = 0$$

Из тригонометрии:

• $\cos a = -1$ при $a = \pi + 2\pi k$
• $\sin a = 0$ при $a = \pi k$

Пересечение — угол $a = \pi + 2\pi k$.

Ответ:

$$a = \pi + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Случай 3: $(0; 1)$

Требуется:

$$(\cos a, \sin a) = (0, 1)$$

Значит:

$$\cos a = 0, \quad \sin a = 1$$

Из тригонометрии:

• $\cos a = 0$ при $a = \frac{\pi}{2} + \pi k$
• $\sin a = 1$ при $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

Пересечение — угол $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ:

$$a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Случай 4: $(0; -1)$

Требуется:

$$(\cos a, \sin a) = (0, -1)$$

Значит:

$$\cos a = 0, \quad \sin a = -1$$

Из тригонометрии:

• $\cos a = 0$ при $a = \frac{\pi}{2} + \pi k$
• $\sin a = -1$ при $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$ (или, что то же самое, $a = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$)

Пересечение — угол $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$.

Ответ:

$$a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Итог:

$$\begin{cases} (1; 0): a = 2\pi k \\ (-1; 0): a = \pi + 2\pi k \\ (0; 1): a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ (0; -1): a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \end{cases}, \quad k \in \mathbb{Z}$$