ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 422 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (к — целое число):

1. пи/2 +-пи;
2. пи/4+-пи;
3. -3пи/2 +пиk;
4. -пи+пиk.

1. $a = \frac{\pi}{2} \pm \pi$;
   $a_1 = \frac{\pi}{2} — \pi = -\frac{\pi}{2}$;
   $a_2 = \frac{\pi}{2} + \pi = \pi — \frac{\pi}{2} + \pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
   Ответ: $(0; -1)$.
2. $a = \frac{\pi}{4} \pm \pi$;
   $a_1 = \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{3\pi}{4}$;
   $a_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \pi — \frac{3\pi}{4} + \pi = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi$;
   Точка повернется на угол $\frac{3\pi}{4}$ по часовой стрелке:
   $x < 0$ и $y < 0$;
   Острый угол между радиусом к точке $P$ и осью $Ox$:
   $\pi — \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \right)^{\circ} = 45^{\circ} \quad \Rightarrow \quad x = y$;
   Уравнение окружности:
   $x^2 + y^2 = R^2$;
   $x^2 + x^2 = 1$;
   $2x^2 = 1$;
   $x^2 = \frac{1}{2}$;
   $x = y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
   Ответ: $\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$.
3. $a = -\frac{3\pi}{2} + \pi k$;
   Если $k$ — нечетное число:
   $a = -\frac{3\pi}{2} + \pi k = -\frac{3\pi}{2} + \pi + \pi(k — 1) = -\frac{\pi}{2} + \pi(k — 1)$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке: $(0; -1)$;
   Если $k$ — четное число:
   $a = -\frac{3\pi}{2} + \pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi(k — 2)$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки: $(0; 1)$;
   Ответ: $(0; -1); (0; 1)$.
4. $a = -\pi + \pi k$;
   Если $k$ — нечетное число:
   $a = -\pi + \pi k = -\pi + \pi + \pi(k — 1) = 0 + \pi(k — 1)$;
   Точка окажется на прежнем месте: $(1; 0)$;
   Если $k$ — четное число:
   $a = -\pi + \pi k = 2\pi — \pi + \pi k = -\pi + \pi(k + 2)$;
   Точка повернется на угол $\pi$ по часовой стрелке: $(-1; 0)$;
   Ответ: $(1; 0); (-1; 0)$.

Задача:
Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $a = (k — \text{целое число})$, где $k \in \mathbb{Z}$, при следующих значениях угла $a$:

Введение в задачу

• Исходная точка $P(1; 0)$ лежит на единичной окружности и соответствует углу $0$ радиан.
• Поворот точки на угол $a$ радиан вокруг начала координат (против часовой стрелки) переводит точку в новую позицию

  $$P’ = (\cos a, \sin a)$$

• Поскольку поворот на угол $a + 2\pi m$ (где $m \in \mathbb{Z}$) совпадает с поворотом на угол $a$, мы можем использовать периодичность функции.

1) Угол $a = \frac{\pi}{2} \pm \pi$

Разбор углов

• $a_1 = \frac{\pi}{2} — \pi = -\frac{\pi}{2}$
• $a_2 = \frac{\pi}{2} + \pi = \frac{3\pi}{2}$

Проверим $a_2$ по модулю $2\pi$:

$$\frac{3\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} + 2\pi$$

Оба угла эквивалентны повороту на $-\frac{\pi}{2}$, то есть на 90 градусов по часовой стрелке.

Координаты после поворота

$$x’ = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$y’ = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Итог

Точка после поворота $(0; -1)$, то есть на оси $y$ вниз.

2) Угол $a = \frac{\pi}{4} \pm \pi$

Разбор углов

• $a_1 = \frac{\pi}{4} — \pi = -\frac{3\pi}{4}$
• $a_2 = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$

Проверим $a_2$ по модулю $2\pi$:

$$\frac{5\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi$$

Геометрический смысл

• Угол $-\frac{3\pi}{4}$ означает поворот на $135^\circ$ по часовой стрелке.
• Точка лежит в третьем квадранте, где $x < 0$ и $y < 0$.

Найдем координаты точки $P’$

Поскольку точка на единичной окружности, ее координаты $(x, y)$ удовлетворяют:

$$x^2 + y^2 = 1$$

Определим связь между $x$ и $y$

Угол между радиусом и осью $Ox$ (острый угол) равен:

$$\pi — \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{4} = 45^\circ$$

Значит, радиус образует угол $45^\circ$ с осью $Ox$ в третьем квадранте, где $x$ и $y$ отрицательны и равны по модулю:

$$x = y$$

Решение уравнения

$$x^2 + x^2 = 1 \implies 2x^2 = 1 \implies x^2 = \frac{1}{2} \implies x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

В третьем квадранте $x < 0$, следовательно:

$$x = y = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Итог

Координаты точки после поворота:

$$P’ = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

3) Угол $a = -\frac{3\pi}{2} + \pi k$

Рассмотрим два случая: $k$ — нечётное и чётное число.

Если $k$ нечётное:

$$k = 2m + 1, \quad m \in \mathbb{Z}$$Подставляем в угол:

$$a = -\frac{3\pi}{2} + \pi (2m + 1) = -\frac{3\pi}{2} + \pi + 2\pi m = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$$

То есть угол $a$ эквивалентен $-\frac{\pi}{2}$ с добавлением целого количества оборотов.

Координаты после поворота

$$x’ = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$y’ = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Ответ: $(0; -1)$.

Если $k$ чётное:

$$k = 2m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Тогда

$$a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi m = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi m$$

Но в условии у нас ещё одна запись:

$$a = \frac{\pi}{2} — 2\pi + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi (k — 2)$$

При $k = 2m$:

$$a = \frac{\pi}{2} + 2\pi (m — 1)$$

Координаты после поворота

$$x’ = \cos \frac{\pi}{2} = 0$$ $$y’ = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ: $(0; 1)$.

Итог для 3-го пункта

Ответ: $(0; -1)$ для нечётных $k$;
Ответ: $(0; 1)$ для чётных $k$.

4) Угол $a = -\pi + \pi k$

Рассмотрим два случая: $k$ — нечётное и чётное число.

Если $k$ нечётное:

$$k = 2m + 1$$

Подставляем:

$$a = -\pi + \pi (2m + 1) = -\pi + \pi + 2\pi m = 2\pi m$$

То есть угол равен $0$ по модулю $2\pi$.

Координаты

Поворот на $0$ рад — точка не меняет положения:

$$P’ = (1; 0)$$

Если $k$ чётное:

$$k = 2m$$

Тогда

$$a = -\pi + 2\pi m = -\pi + 2\pi m$$

Преобразуем с учётом периодичности:

$$a = -\pi + 2\pi m = \pi + 2\pi (m — 1)$$

Координаты

$$x’ = \cos \pi = -1$$ $$y’ = \sin \pi = 0$$

Итог для 4-го пункта

Ответ:
При нечётном $k$ — $(1; 0)$,
при чётном $k$ — $(-1; 0)$.

Итоговая таблица ответов: