ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 421 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол (k — целое число):

1. -пи/2+ 2пиk;
2. пи/2+2пиk;
3. 3пи/2 + 2пиk;
4. -3пи/2+2пиk.

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $(k — \text{целое число})$:

1. $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
   Ответ: $(0; -1)$.
2. $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
   Ответ: $(0; 1)$.
3. $a = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi + 2\pi k = -\pi + 2\pi(k + 1)$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ по часовой стрелке;
   Ответ: $(0; -1)$.
4. $a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi + 2\pi k = \pi + 2\pi(k — 1)$;
   Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
   Ответ: $(0; 1)$.

Задача:
Найти координаты точки на единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол $a = (k — \text{целое число})$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Пояснения к задаче

1. Исходная точка: $P(1; 0)$ — это точка на единичной окружности, расположенная на оси абсцисс (ось $x$) справа от центра окружности. Она соответствует углу $0$ радиан.
2. Поворот точки: Поворот на угол $a$ означает, что мы берем вектор $(1,0)$ и вращаем его на угол $a$ против часовой стрелки (по стандарту в математике). При повороте точка $P(1;0)$ перейдет в новую точку $P'(\cos a; \sin a)$ на единичной окружности.
3. Обобщение: Здесь рассматривается угол вида $a = \text{угол сдвига} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$ — целое число, учитывающее периодичность функции вращения на $2\pi$ (полный оборот).

Основная формула поворота

Поворот точки $P(x; y)$ на угол $a$ против часовой стрелки вокруг начала координат задаётся формулой:

$$\begin{pmatrix} x’ \\ y’ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos a & -\sin a \\ \sin a & \cos a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$$

Для исходной точки $(1; 0)$:

$$x’ = \cos a \cdot 1 — \sin a \cdot 0 = \cos a$$ $$y’ = \sin a \cdot 1 + \cos a \cdot 0 = \sin a$$

Теперь рассмотрим каждый из углов $a$ из задачи подробно.

1) Угол $a = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$

• Угол $-\frac{\pi}{2}$ — это поворот на 90 градусов по часовой стрелке (отрицательное направление угла).
• Добавление $2\pi k$ — это добавление целого числа оборотов (поскольку поворот на $2\pi$ радиан не меняет положение точки).

Найдём координаты после поворота:

$$x’ = \cos \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \right)$$ $$y’ = \sin \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \right)$$

Так как $\cos$ и $\sin$ периодичны с периодом $2\pi$, то:

$$\cos \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\sin \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi k \right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Таким образом:

$$P’ = (0; -1)$$

Это точка на единичной окружности, расположенная на оси $y$ вниз.

2) Угол $a = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$

• Угол $\frac{\pi}{2}$ — это поворот на 90 градусов против часовой стрелки.
• Добавление $2\pi k$ — полный оборот.

Координаты:

$$x’ = \cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$$ $$y’ = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ:

$$P’ = (0; 1)$$

Это точка на единичной окружности, расположенная на оси $y$ вверх.

3) Угол $a = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Первое преобразование угла:

$$\frac{3\pi}{2} + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi + 2\pi k = -\frac{\pi}{2} + 2\pi(k + 1)$$

В силу периодичности:

$$\cos \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \right) = \cos \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi (k+1) \right) = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$$ $$\sin \left( \frac{3\pi}{2} + 2\pi k \right) = \sin \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi (k+1) \right) = \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$$

Ответ:

$$P’ = (0; -1)$$

4) Угол $a = -\frac{3\pi}{2} + 2\pi k$

Преобразуем угол:

$$-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} — 2\pi + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi (k-1)$$

По периодичности:

$$\cos \left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi (k-1)\right) = \cos \frac{\pi}{2} = 0$$ $$\sin \left(-\frac{3\pi}{2} + 2\pi k\right) = \sin \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi (k-1)\right) = \sin \frac{\pi}{2} = 1$$

Ответ:

$$P’ = (0; 1)$$

Итог: