ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 420 Алимов — Подробные Ответы

Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1; 0) на угол:

1. 3пи
2. -7пи/2;
3. -15пи/2;
4. 5пи;
5. 540;
6. 810.

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол:

1) $a = 3\pi = \pi + 2\pi$;
Точка повернется на угол $\pi$ против часовой стрелки;
Ответ: $(-1; 0)$.

2) $a = -\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} — 4\pi$;
Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
Ответ: $(0; 1)$.

3) $a = -\frac{15}{2}\pi = \frac{\pi}{2} — 8\pi$;
Точка повернется на угол $\frac{\pi}{2}$ против часовой стрелки;
Ответ: $(0; 1)$.

4) $a = 5\pi = \pi + 4\pi$;
Точка повернется на угол $\pi$ против часовой стрелки;
Ответ: $(-1; 0)$.

5) $a = 540^\circ = 180^\circ + 360^\circ$;
Точка повернется на угол $180^\circ$ против часовой стрелки;
Ответ: $(-1; 0)$.

6) $a = 810^\circ = 90^\circ + 2 \cdot 360^\circ$;
Точка повернется на угол $90^\circ$ против часовой стрелки;
Ответ: $(0; 1)$.

Найти координаты точки единичной окружности, полученной поворотом точки $P(1; 0)$ на угол:

Введение

• Точка $P(1; 0)$ лежит на единичной окружности, соответствует углу 0 радиан.
• Поворот точки на угол $a$ радиан вокруг начала координат приводит к новой точке $P’ = (\cos a, \sin a)$.
• Если угол $a$ выходит за пределы $[0, 2\pi)$, можно уменьшить или увеличить угол на целое число $2\pi$, так как поворот на полный круг не изменяет положение точки.
• Аналогично, углы в градусах можно привести к интервалу $[0^\circ, 360^\circ)$.

Формулы

После поворота на угол $a$, новые координаты точки:

$$x’ = \cos a, \quad y’ = \sin a.$$

Разбор каждого случая подробно

1) $a = 3\pi = \pi + 2\pi$

• Сначала приведем угол к основному интервалу $[0, 2\pi)$:

$$3\pi — 2\pi = \pi.$$

• Значит поворот на угол $\pi$ радиан (180°) против часовой стрелки.
• Рассчитаем координаты:

$$x’ = \cos \pi = -1,$$ $$y’ = \sin \pi = 0.$$

Ответ: $(-1; 0)$.

2) $a = -\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} — 4\pi$

• Приведем угол к основному интервалу:

$$-\frac{7\pi}{2} + 4\pi = -\frac{7\pi}{2} + \frac{8\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

• Значит поворот на угол $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) против часовой стрелки.
• Рассчитаем координаты:

$$x’ = \cos \frac{\pi}{2} = 0,$$ $$y’ = \sin \frac{\pi}{2} = 1.$$

Ответ: $(0; 1)$.

3) $a = -\frac{15}{2}\pi = \frac{\pi}{2} — 8\pi$

• Приведем угол:

$$-\frac{15\pi}{2} + 8\pi = -\frac{15\pi}{2} + \frac{16\pi}{2} = \frac{\pi}{2}.$$

• Поворот на $\frac{\pi}{2}$ радиан (90°) против часовой стрелки.
• Координаты:

$$x’ = 0, \quad y’ = 1.$$

Ответ: $(0; 1)$.

4) $a = 5\pi = \pi + 4\pi$

• Приведем угол:

$$5\pi — 4\pi = \pi.$$

• Поворот на $\pi$ радиан (180°) против часовой стрелки.
• Координаты:

$$x’ = -1, \quad y’ = 0.$$

Ответ: $(-1; 0)$.

5) $a = 540^\circ = 180^\circ + 360^\circ$

• Приведем угол к $[0^\circ, 360^\circ)$:

$$540^\circ — 360^\circ = 180^\circ.$$

• Поворот на 180° против часовой стрелки.
• Координаты:

$$x’ = \cos 180^\circ = -1,$$ $$y’ = \sin 180^\circ = 0.$$

Ответ: $(-1; 0)$.

6) $a = 810^\circ = 90^\circ + 2 \times 360^\circ$

• Приведем угол:

$$810^\circ — 720^\circ = 90^\circ.$$

• Поворот на 90° против часовой стрелки.
• Координаты:

$$x’ = \cos 90^\circ = 0,$$ $$y’ = \sin 90^\circ = 1.$$

Ответ: $(0; 1)$.

Итог

Во всех случаях приведение угла $a$ к основному интервалу $[0, 2\pi)$ или $[0^\circ, 360^\circ)$ позволяет определить координаты новой точки на единичной окружности по формулам:

$$P’ = (\cos a, \sin a).$$