ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 414 Алимов — Подробные Ответы

Заполнить таблицу (414—415).

Заполнить таблицу:

Вычисления:
$0,5^\circ = \frac{\pi \cdot 0,5}{180} = \frac{\pi}{360};$
$36^\circ = \frac{\pi \cdot 36}{180} = \frac{\pi}{5};$
$159^\circ = \frac{\pi \cdot 159}{180} = \frac{53\pi}{60};$
$108^\circ = \frac{\pi \cdot 108}{180} = \frac{3\pi}{5};$
$\frac{5}{6}\pi = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{5\pi}{6} \right)^\circ = (30 \cdot 5)^\circ = 150^\circ;$
$\frac{3}{10}\pi = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{10} \right)^\circ = (18 \cdot 3)^\circ = 54^\circ;$
$2,5 = \left( \frac{180}{\pi} \cdot 2,5 \right)^\circ = \left( \frac{450}{\pi} \right)^\circ;$
$1,8 = \left( \frac{180}{\pi} \cdot 1,8 \right)^\circ = \left( \frac{324}{\pi} \right)^\circ;$

Задача:
Заполнить таблицу перевода углов из градусов в радианы и обратно.

Теория:

• Связь между градусами и радианами задаётся формулой:

$$\text{радианы} = \frac{\pi}{180} \times \text{градусы}$$

• Обратная формула для перевода радиан в градусы:

$$\text{градусы} = \frac{180}{\pi} \times \text{радианы}$$

Дано:

Шаг 1: Перевод градусов в радианы

Для каждого угла в градусах найдём радианную меру.

1. $0,5^\circ$

$$0,5^\circ = \frac{\pi}{180} \times 0,5 = \frac{0,5 \pi}{180} = \frac{\pi}{360}$$

2. $36^\circ$

$$36^\circ = \frac{\pi}{180} \times 36 = \frac{36 \pi}{180} = \frac{\pi}{5}$$

3. $159^\circ$

$$159^\circ = \frac{\pi}{180} \times 159 = \frac{159 \pi}{180}$$

Сократим дробь:

Найдём НОД числителя и знаменателя:

• $159 = 3 \times 53$
• $180 = 3 \times 60$

Тогда:

$$\frac{159 \pi}{180} = \frac{3 \times 53 \pi}{3 \times 60} = \frac{53 \pi}{60}$$

4. $108^\circ$

$$108^\circ = \frac{\pi}{180} \times 108 = \frac{108 \pi}{180}$$

Сократим:

$108 = 12 \times 9$, $180 = 12 \times 15$:

$$\frac{108 \pi}{180} = \frac{12 \times 9 \pi}{12 \times 15} = \frac{9 \pi}{15} = \frac{3 \pi}{5}$$

5. $150^\circ$

$$150^\circ = \frac{\pi}{180} \times 150 = \frac{150 \pi}{180}$$

Сократим:

$150 = 30 \times 5$, $180 = 30 \times 6$:

$$\frac{150 \pi}{180} = \frac{30 \times 5 \pi}{30 \times 6} = \frac{5 \pi}{6}$$

6. $54^\circ$

$$54^\circ = \frac{\pi}{180} \times 54 = \frac{54 \pi}{180}$$

Сократим:

$54 = 18 \times 3$, $180 = 18 \times 10$:

$$\frac{54 \pi}{180} = \frac{18 \times 3 \pi}{18 \times 10} = \frac{3 \pi}{10}$$

Шаг 2: Перевод радиан в градусы

Теперь найдем градусы для данных радианных мер.

7. Радианы $\frac{5\pi}{6}$

Переводим радианы в градусы:

$$a = \frac{180}{\pi} \times \frac{5\pi}{6} = \frac{180 \times 5 \pi}{\pi \times 6} = \frac{180 \times 5}{6} = 30 \times 5 = 150^\circ$$

8. Радианы $\frac{3\pi}{10}$

$$a = \frac{180}{\pi} \times \frac{3\pi}{10} = \frac{180 \times 3 \pi}{\pi \times 10} = \frac{180 \times 3}{10} = 18 \times 3 = 54^\circ$$

9. Радианы $2,5$

$$a = \frac{180}{\pi} \times 2,5 = \frac{180 \times 2,5}{\pi} = \frac{450}{\pi}$$

10. Радианы $1,8$

$$a = \frac{180}{\pi} \times 1,8 = \frac{180 \times 1,8}{\pi} = \frac{324}{\pi}$$

Итоговая таблица: