ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 409 Алимов — Подробные Ответы

(Устно.) Определить градусную и радианную меру углов:

а) равностороннего треугольника;

б) равнобедренного прямоугольного треугольника;

в) квадрата;

г) правильного шестиугольника.

Определить градусную и радианную меру углов:

а) Равностороннего треугольника:
$a_d = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ;$
$a_r = \frac{\pi \cdot 60}{180} = \frac{\pi}{3};$

б) Равнобедренного прямоугольного треугольника:
$a_{d1} = 90^\circ \text{ и } a_{d2} = \frac{180^\circ — 90^\circ}{2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ;$
$a_{r1} = \frac{\pi \cdot 90}{180} = \frac{\pi}{2} \text{ и } a_{r2} = \frac{\pi \cdot 45}{180} = \frac{\pi}{4};$

в) Квадрата:
$a_d = \frac{1}{4} \cdot (4 — 2) \cdot 180^\circ = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ;$
$a_r = \frac{\pi \cdot 90}{180} = \frac{\pi}{2};$

г) Правильного шестиугольника:
$a_d = \frac{1}{6} \cdot (6 — 2) \cdot 180 = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ;$
$a_r = \frac{\pi \cdot 120}{180} = \frac{2\pi}{3};$

Задача

Найти градусную и радианную меру углов для:

• а) равностороннего треугольника,
• б) равнобедренного прямоугольного треугольника,
• в) квадрата,
• г) правильного шестиугольника.

Часть а) Равносторонний треугольник

Свойства:

• Все стороны равны.
• Все углы равны.
• Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

Шаг 1: Найдем градусную меру угла

Так как углы равны, каждый угол равен:

$$a_d = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ.$$

Шаг 2: Перевод в радианы

Формула перевода градусов в радианы:

$$a_r = \frac{\pi}{180^\circ} \times a_d.$$

Подставим:

$$a_r = \frac{\pi}{180} \times 60 = \frac{\pi}{3}.$$

Часть б) Равнобедренный прямоугольный треугольник

Свойства:

• Один угол прямой — $90^\circ$.
• Два других угла равны (так как треугольник равнобедренный).
• Сумма всех углов — $180^\circ$.

Шаг 1: Найдем градусные меры углов

Угол $a_{d1}$ — прямой:

$$a_{d1} = 90^\circ.$$

Два остальных угла равны, их сумма:

$$180^\circ — 90^\circ = 90^\circ.$$

Значит, каждый из них:

$$a_{d2} = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ.$$

Шаг 2: Переводим в радианы

Для $a_{d1} = 90^\circ$:

$$a_{r1} = \frac{\pi}{180} \times 90 = \frac{\pi}{2}.$$

Для $a_{d2} = 45^\circ$:

$$a_{r2} = \frac{\pi}{180} \times 45 = \frac{\pi}{4}.$$

Часть в) Квадрат

Свойства:

• Четыре стороны равны.
• Все углы равны.
• Сумма углов многоугольника с $n$ сторонами равна:

$$S = (n — 2) \times 180^\circ.$$

Для квадрата $n=4$:

$$S = (4 — 2) \times 180^\circ = 2 \times 180^\circ = 360^\circ.$$

Шаг 1: Найдем градусную меру угла

Так как углы равны:

$$a_d = \frac{S}{4} = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ.$$

Шаг 2: Перевод в радианы

$$a_r = \frac{\pi}{180} \times 90 = \frac{\pi}{2}.$$

Часть г) Правильный шестиугольник

Свойства:

• Шесть равных сторон.
• Все углы равны.
• Сумма углов:

$$S = (n — 2) \times 180^\circ,$$

где $n = 6$, значит:

$$S = (6 — 2) \times 180^\circ = 4 \times 180^\circ = 720^\circ.$$

Шаг 1: Найдем градусную меру угла

Так как углы равны:

$$a_d = \frac{720^\circ}{6} = 120^\circ.$$

Шаг 2: Перевод в радианы

$$a_r = \frac{\pi}{180} \times 120 = \frac{2\pi}{3}.$$

Итог: