ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 403 Алимов — Подробные Ответы

1. log2 (2х — 5) — log2 (2х-2)= 2- x;
2. log1-x(3 — x) = log3- x (1 — x);
3. log2 (2X + 1) * log2 (2^(x+ 1) + 2) = 2;
4. log3х + 7 (5x + 3) = 2 — log5x + з (3x + 7).

1) $\log_2(2^x — 5) — \log_2(2^x — 2) = 2 — x$

$$\log_2 \frac{2^x — 5}{2^x — 2} = \log_2 2^{2-x};$$ $$\frac{2^x — 5}{2^x — 2} = 2^{2-x};$$ $$2^x — 5 = 2^{2-x} \cdot (2^x — 2);$$ $$2^x — 5 = 2^{2 — x + x} — 2^{2 — x + 1};$$ $$2^x — 5 = 2^2 — 2^{3 — x};$$ $$2^x — 5 = 4 — \frac{2^3}{2^x};$$ $$2^x + \frac{8}{2^x} — 9 = 0;$$

Пусть $y = 2^x$, тогда:

$$y + \frac{8}{y} — 9 = 0 \quad | \cdot y;$$ $$y^2 — 9 y + 8 = 0;$$ $$D = 9^2 — 4 \cdot 8 = 81 — 32 = 49, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8;$$

Первое значение:

$$2^x = 1;$$ $$2^x = 2^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Второе значение:

$$2^x = 8;$$ $$2^x = 2^3, \text{отсюда } x = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2^x — 5 > 0;$$ $$2^x > 5;$$ $$\log_2 2^x > \log_2 5, \text{отсюда } x > \log_2 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2^x — 2 > 0;$$ $$2^x > 2, \text{отсюда } x > 1;$$

Ответ: $x = 3$.

2) $\log_{1-x}(3-x) = \log_{3-x}(1-x)$

$$\log_{1-x}(3-x) = \frac{\log_{1-x}(1-x)}{\log_{1-x}(3-x)};$$ $$\log_{1-x}(3-x) = \frac{1}{\log_{1-x}(3-x)};$$ $$\log_{1-x}(3-x) = \pm 1;$$

Первое значение:

$$\log_{1-x}(3-x) = -1;$$ $$\log_{1-x}(3-x) = \log_{1-x}(1-x)^{-1};$$ $$3 — x = (1 — x)^{-1};$$ $$3 — x = \frac{1}{1 — x};$$ $$(3 — x)(1 — x) = 1;$$ $$3 — 3x — x + x^2 = 1;$$ $$x^2 — 4x + 2 = 0;$$ $$D = 4^2 — 4 \cdot 2 = 16 — 8 = 8, \text{тогда:}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 2 \pm \sqrt{2};$$

Второе значение:

$$\log_{1-x}(3-x) = 1;$$ $$\log_{1-x}(3-x) = \log_{1-x}(1-x);$$ $$3 — x = 1 — x;$$ $$3 = 1 \quad \text{нет корней};$$

Выражение имеет смысл при:

$$3 — x > 0, \text{отсюда } x < 3;$$ $$1 — x > 0, \text{отсюда } x < 1;$$

Ответ: $x = 2 — \sqrt{2}$.

3) $\log_2(2^x + 1) \cdot \log_2(2^{x+1} + 2) = 2$

$$\log_2(2^x + 1) \cdot \log_2(2 \cdot (2^x + 2)) = 2;$$ $$\log_2(2^x + 1) \cdot (\log_2 2 + \log_2(2^x + 2)) — 2 = 0;$$ $$\log_2(2^x + 1) \cdot (1 + \log_2(2^x + 2)) — 2 = 0;$$

Пусть $y = \log_2(2^x + 1)$, тогда:

$$y \cdot (1 + y) — 2 = 0;$$ $$y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Первое значение:

$$\log_2(2^x + 1) = -2;$$ $$\log_2(2^x + 1) = \log_2 2^{-2};$$ $$2^x + 1 = 2^{-2};$$ $$2^x + 1 = \frac{1}{4};$$ $$2^x = -\frac{3}{4} \quad \text{нет корней};$$

Второе значение:

$$\log_2(2^x + 1) = 1;$$ $$\log_2(2^x + 1) = \log_2 2;$$ $$2^x + 1 = 2;$$ $$2^x = 1;$$ $$2^x = 2^0, \text{отсюда } x = 0;$$

Ответ: $x = 0$.

4) $\log_{3x+7}(5x+3) = 2 — \log_{5x+3}(3x+7)$

$$\log_{3x+7}(5x+3) = 2 — \frac{\log_{3x+7}(3x+7)}{\log_{3x+7}(5x+3)};$$ $$\log_{3x+7}(5x+3) = 2 — \frac{1}{\log_{3x+7}(5x+3)};$$

Пусть $y = \log_{3x+7}(5x+3)$, тогда:

$$y = 2 — \frac{1}{y} \quad | \cdot y;$$ $$y^2 = 2 y — 1;$$ $$y^2 — 2 y + 1 = 0;$$ $$(y — 1)^2 = 0;$$ $$y — 1 = 0, \text{отсюда } y = 1;$$ $$\log_{3x+7}(5x+3) = 1;$$ $$\log_{3x+7}(5x+3) = \log_{3x+7}(3x+7);$$ $$5x + 3 = 3x + 7;$$ $$2x = 4, \text{отсюда } x = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x + 3 \geq 0, \text{отсюда } x > -0.6;$$ $$3x + 7 > 0, \text{отсюда } x > -\frac{7}{3};$$ $$3x + 7 \neq 1, \text{отсюда } x \neq -2;$$

Ответ: $x = 2$.

1)

$$\log_2(2^x — 5) — \log_2(2^x — 2) = 2 — x$$

Шаг 1. Условие означает, что мы работаем с разностью логарифмов одинакового основания:

$$\log_2 a — \log_2 b = \log_2 \frac{a}{b}.$$

Применяем это свойство:

$$\log_2 \frac{2^x — 5}{2^x — 2} = 2 — x.$$

Шаг 2. Правая часть $2 — x$ можно переписать как логарифм степени двойки:

$$2 — x = \log_2 2^{2 — x},$$

потому что $\log_2 2^{k} = k$.

Шаг 3. Приравниваем логарифмы:

$$\log_2 \frac{2^x — 5}{2^x — 2} = \log_2 2^{2 — x}.$$

Так как $\log_2$ — функция монотонная, равенство аргументов логарифмов даёт равенство:

$$\frac{2^x — 5}{2^x — 2} = 2^{2 — x}.$$

Шаг 4. Умножаем обе части на знаменатель:

$$2^x — 5 = 2^{2 — x} (2^x — 2).$$

Шаг 5. Упростим степень справа:

$$2^{2 — x} \cdot 2^x = 2^{2 — x + x} = 2^2 = 4.$$

А также

$$2^{2 — x} \cdot 2 = 2^{2 — x + 1} = 2^{3 — x}.$$

Значит:

$$2^x — 5 = 4 — 2^{3 — x}.$$

Шаг 6. Запишем $2^{3 — x}$ в виде дроби:

$$2^{3 — x} = \frac{2^3}{2^x} = \frac{8}{2^x}.$$

Подставляем:

$$2^x — 5 = 4 — \frac{8}{2^x}.$$

Шаг 7. Переносим все члены в одну сторону:

$$2^x + \frac{8}{2^x} — 9 = 0.$$

Шаг 8. Введём замену:

$$y = 2^x > 0.$$

Уравнение становится:

$$y + \frac{8}{y} — 9 = 0.$$

Шаг 9. Умножаем обе части на $y$:

$$y^2 — 9 y + 8 = 0.$$

Шаг 10. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант

$$D = (-9)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 8 = 81 — 32 = 49.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{9 — 7}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{9 + 7}{2} = 8.$$

Шаг 11. Возвращаемся к $y = 2^x$:

• Для $y_1 = 1$:

$$2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0.$$

• Для $y_2 = 8$:

$$2^x = 8 = 2^3 \Rightarrow x = 3.$$

Шаг 12. Проверяем область определения (ОДЗ):

• Подлогарифмические выражения должны быть положительны:

$$2^x — 5 > 0 \Rightarrow 2^x > 5 \Rightarrow x > \log_2 5 \approx 2.3219;$$ $$2^x — 2 > 0 \Rightarrow 2^x > 2 \Rightarrow x > 1.$$

Учитываем самый строгий критерий: $x > \log_2 5$.

Шаг 13. Проверяем корни с ОДЗ:

• $x=0$ не подходит, так как $0 < 2.32$,
• $x=3$ подходит.

Ответ: $\boxed{x = 3}$.

2)

$$\log_{1 — x}(3 — x) = \log_{3 — x}(1 — x)$$

Шаг 1. Используем свойство перехода оснований логарифма:

$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}.$$

Применим к правой части:

$$\log_{3 — x}(1 — x) = \frac{1}{\log_{1 — x}(3 — x)}.$$

Шаг 2. Тогда уравнение становится:

$$\log_{1 — x}(3 — x) = \frac{1}{\log_{1 — x}(3 — x)}.$$

Шаг 3. Обозначим

$$y = \log_{1 — x}(3 — x).$$

Тогда

$$y = \frac{1}{y} \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1.$$

Шаг 4. Рассмотрим оба варианта:

• $y = 1$:

$$\log_{1 — x}(3 — x) = 1 \Rightarrow 3 — x = 1 — x,$$

что даёт $3 = 1$ — противоречие, значит решений нет.

• $y = -1$:

$$\log_{1 — x}(3 — x) = -1.$$

Шаг 5. Перепишем

$$\log_{1 — x}(3 — x) = \log_{1 — x} \left( (1 — x)^{-1} \right),$$

следовательно

$$3 — x = (1 — x)^{-1} = \frac{1}{1 — x}.$$

Шаг 6. Умножим обе части на $1 — x$:

$$(3 — x)(1 — x) = 1.$$

Раскроем скобки:

$$3 — 3x — x + x^2 = 1,$$

или

$$x^2 — 4x + 3 = 1,$$

следовательно

$$x^2 — 4x + 2 = 0.$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 16 — 8 = 8,$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}.$$

Шаг 8. Проверим область определения логарифмов:

• Основания должны быть положительными и не равны 1:

$$1 — x > 0 \Rightarrow x < 1,$$ $$3 — x > 0 \Rightarrow x < 3,$$

и

$$1 — x \neq 1 \Rightarrow x \neq 0.$$

Шаг 9. Проверяем корни:

• $x = 2 + \sqrt{2} \approx 3.414 > 1$ — не подходит,
• $x = 2 — \sqrt{2} \approx 0.586 < 1$ — подходит.

Ответ: $\boxed{x = 2 — \sqrt{2}}$.

3)

$$\log_2(2^x + 1) \cdot \log_2(2^{x+1} + 2) = 2$$

Шаг 1. Упростим второе логарифмическое выражение:

$$2^{x+1} + 2 = 2 \cdot 2^x + 2 = 2 (2^x + 1).$$

Шаг 2. Запишем уравнение:

$$\log_2(2^x + 1) \cdot \log_2 \big( 2 (2^x + 1) \big) = 2.$$

Шаг 3. Логарифм произведения раскладываем в сумму:

$$\log_2 2 + \log_2(2^x + 1) = 1 + \log_2(2^x + 1).$$

Шаг 4. Обозначим

$$y = \log_2(2^x + 1).$$

Уравнение становится:

$$y \cdot (1 + y) = 2.$$

Шаг 5. Раскроем скобки:

$$y^2 + y — 2 = 0.$$

Шаг 6. Решаем квадратное уравнение:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9,$$ $$y = \frac{-1 \pm 3}{2}.$$

Шаг 7. Корни:

• $y_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2$,
• $y_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$.

Шаг 8. Отрицательное значение $y_1 = -2$ проверим на допустимость:

$$\log_2(2^x + 1) = -2 \Rightarrow 2^x + 1 = 2^{-2} = \frac{1}{4}.$$

Шаг 9. Тогда

$$2^x = \frac{1}{4} — 1 = -\frac{3}{4} < 0,$$

что невозможно. Значит корень $y = -2$ отвергается.

Шаг 10. Для $y = 1$:

$$\log_2(2^x + 1) = 1 \Rightarrow 2^x + 1 = 2^1 = 2,$$

следовательно

$$2^x = 1 \Rightarrow x = 0.$$

Ответ: $\boxed{x = 0}$.

4)

$$\log_{3x+7}(5x+3) = 2 — \log_{5x+3}(3x+7).$$

Шаг 1. Используем формулу перехода основания для второго логарифма:

$$\log_{5x+3}(3x+7) = \frac{\log_{3x+7}(3x+7)}{\log_{3x+7}(5x+3)} = \frac{1}{\log_{3x+7}(5x+3)},$$

так как $\log_a a = 1$.

Шаг 2. Запишем уравнение:

$$\log_{3x+7}(5x+3) = 2 — \frac{1}{\log_{3x+7}(5x+3)}.$$

Шаг 3. Обозначим

$$y = \log_{3x+7}(5x+3).$$

Тогда

$$y = 2 — \frac{1}{y}.$$

Шаг 4. Умножаем обе части на $y$:

$$y^2 = 2 y — 1.$$

Шаг 5. Переносим все в левую часть:

$$y^2 — 2 y + 1 = 0.$$

Шаг 6. Это полный квадрат:

$$(y — 1)^2 = 0 \implies y = 1.$$

Шаг 7. Возвращаемся к логарифму:

$$\log_{3x+7}(5x+3) = 1 \implies 5x + 3 = 3x + 7.$$

Шаг 8. Решаем линейное уравнение:

$$5x + 3 = 3x + 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2.$$

Шаг 9. Проверяем область определения:

• $5x + 3 > 0 \Rightarrow 5 \cdot 2 + 3 = 13 > 0$,
• $3x + 7 > 0 \Rightarrow 3 \cdot 2 + 7 = 13 > 0$,
• основание логарифма не должно равняться 1:

$$3x + 7 \neq 1 \Rightarrow 3 \cdot 2 + 7 \neq 1,$$

что верно.

Ответ: $\boxed{x = 2}$.