ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 402 Алимов — Подробные Ответы

1. 3 + 2 logx+1(3) = 2 log3(x + 1);
2. 1 + 2 logx + 2(5) = log5 (x + 2).

$3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x+1)$;

$$3 + 2 \cdot \frac{\log_3 3}{\log_3 (x+1)} — 2 \log_3 (x+1) = 0;$$ $$3 + \frac{2}{\log_3 (x+1)} — 2 \log_3 (x+1) = 0;$$

Пусть $y = \log_3 (x+1)$, тогда:

$$3 + \frac{2}{y} — 2y = 0 \quad | \cdot y;$$ $$3y + 2 — 2y^2 = 0;$$ $$2y^2 — 3y — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25;$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Первое значение:

$$\log_3 (x+1) = -\frac{1}{2};$$ $$\log_3 (x+1) = \log_3 3^{-\frac{1}{2}};$$ $$x + 1 = 3^{-\frac{1}{2}};$$ $$x = \frac{1}{3^{\frac{1}{2}}} — 1 = \frac{1}{\sqrt{3}} — 1;$$

Второе значение:

$$\log_3 (x+1) = 2;$$ $$\log_3 (x+1) = \log_3 3^2;$$ $$x + 1 = 3^2;$$ $$x = 9 — 1 = 8;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 > 0, \text{отсюда } x > -1;$$

Ответ: $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} — 1; \, x_2 = 8$.

$1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x+2)$;

$$1 + 2 \cdot \frac{\log_5 5}{\log_5 (x+2)} — \log_5 (x+2) = 0;$$ $$1 + \frac{2}{\log_5 (x+2)} — \log_5 (x+2) = 0;$$

Пусть $y = \log_5 (x+2)$, тогда:

$$1 + \frac{2}{y} — y = 0 \quad | \cdot y;$$ $$y + 2 — y^2 = 0;$$ $$y^2 — y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Первое значение:

$$\log_5 (x+2) = -1;$$ $$\log_5 (x+2) = \log_5 5^{-1};$$ $$x + 2 = 5^{-1};$$ $$x = \frac{1}{5} — 2 = 0.2 — 2 = -1.8;$$

Второе значение:

$$\log_5 (x+2) = 2;$$ $$\log_5 (x+2) = \log_5 5^2;$$ $$x + 2 = 5^2;$$ $$x = 25 — 2 = 23;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 2 > 0, \text{отсюда } x > -2;$$

Ответ: $x_1 = -1.8; \, x_2 = 23$.

Задача 1

Дано уравнение:

$$3 + 2 \log_{x+1} 3 = 2 \log_3 (x+1).$$

Шаг 1. Понять условие и обозначения:

• $\log_a b$ — логарифм числа $b$ по основанию $a$.
• Требуется решить уравнение относительно $x$.

Шаг 2. Вспомним формулу перехода логарифма из одного основания в другое:

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

для любых оснований $a, b, c > 0, \, a, c \neq 1$.

Шаг 3. Перепишем $\log_{x+1} 3$ через логарифмы с удобным основанием — возьмём основание 3:

$$\log_{x+1} 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 (x+1)} = \frac{1}{\log_3 (x+1)},$$

потому что $\log_3 3 = 1$.

Шаг 4. Подставим это в уравнение:

$$3 + 2 \cdot \frac{1}{\log_3 (x+1)} = 2 \log_3 (x+1).$$

Шаг 5. Перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить уравнение равное нулю:

$$3 + \frac{2}{\log_3 (x+1)} — 2 \log_3 (x+1) = 0.$$

Шаг 6. Введём обозначение:

$$y = \log_3 (x+1).$$

Тогда уравнение станет:

$$3 + \frac{2}{y} — 2 y = 0.$$

Шаг 7. Умножим всё уравнение на $y$ (обоснование: $y \neq 0$, так как логарифм с основанием 3 равен нулю, когда $x+1 = 1$, что даёт $x=0$ — это мы проверим позже):

$$y \cdot 3 + y \cdot \frac{2}{y} — y \cdot 2 y = 0 \cdot y,$$

то есть

$$3 y + 2 — 2 y^2 = 0.$$

Шаг 8. Приведём уравнение к стандартному виду квадратного уравнения относительно $y$:

$$2 y^2 — 3 y — 2 = 0.$$

Шаг 9. Найдём дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$

Шаг 10. Найдём корни уравнения по формуле:

$$y = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{3 \pm 5}{4}.$$

Шаг 11. Первый корень:

$$y_1 = \frac{3 — 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2.$$

Шаг 12. Вернёмся к $y = \log_3 (x+1)$ и подставим корни:

• Для $y_1 = -\frac{1}{2}$:

$$\log_3 (x+1) = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 13. Перепишем в показательной форме:

$$x + 1 = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{3^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда:

$$x = \frac{1}{\sqrt{3}} — 1.$$

Шаг 14. Для второго корня $y_2 = 2$:

$$\log_3 (x+1) = 2,$$

что даёт

$$x + 1 = 3^2 = 9,$$

следовательно,

$$x = 9 — 1 = 8.$$

Шаг 15. Проверка области определения (ОДЗ):

• В логарифмах основание и аргумент должны быть положительны.
• Здесь важен аргумент логарифма: $x + 1 > 0$,
• Значит

$$x > -1.$$

Шаг 16. Проверяем найденные корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} — 1 \approx 0.577 — 1 = -0.423 > -1$ — подходит.
• $x_2 = 8 > -1$ — подходит.

Ответ для задачи 1:

$$\boxed{ x_1 = \frac{1}{\sqrt{3}} — 1, \quad x_2 = 8. }$$

Задача 2

Дано уравнение:

$$1 + 2 \log_{x+2} 5 = \log_5 (x+2).$$

Шаг 1. Применим формулу перехода основания логарифма:

$$\log_{x+2} 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 (x+2)} = \frac{1}{\log_5 (x+2)},$$

так как $\log_5 5 = 1$.

Шаг 2. Подставим в уравнение:

$$1 + 2 \cdot \frac{1}{\log_5 (x+2)} = \log_5 (x+2).$$

Шаг 3. Перенесём все члены в левую часть:

$$1 + \frac{2}{\log_5 (x+2)} — \log_5 (x+2) = 0.$$

Шаг 4. Введём обозначение:

$$y = \log_5 (x+2).$$

Уравнение примет вид:

$$1 + \frac{2}{y} — y = 0.$$

Шаг 5. Умножим всё уравнение на $y$ (при $y \neq 0$):

$$y \cdot 1 + y \cdot \frac{2}{y} — y \cdot y = 0 \cdot y,$$

то есть

$$y + 2 — y^2 = 0.$$

Шаг 6. Приведём уравнение к стандартному виду:

$$y^2 — y — 2 = 0.$$

Шаг 7. Найдём дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

Шаг 8. Найдём корни:

$$y = \frac{1 \pm 3}{2}.$$

Шаг 9. Первый корень:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2.$$

Шаг 10. Вернёмся к $y = \log_5 (x+2)$ и подставим корни.

Для $y_1 = -1$:

$$\log_5 (x+2) = -1,$$

что даёт

$$x + 2 = 5^{-1} = \frac{1}{5} = 0.2,$$

следовательно

$$x = 0.2 — 2 = -1.8.$$

Шаг 11. Для $y_2 = 2$:

$$\log_5 (x+2) = 2,$$

следовательно

$$x + 2 = 5^2 = 25,$$

и

$$x = 25 — 2 = 23.$$

Шаг 12. Проверка области определения (ОДЗ):

• Аргумент логарифма $x + 2 > 0$,
• Значит

$$x > -2.$$

Шаг 13. Проверяем корни на принадлежность ОДЗ:

• $x_1 = -1.8 > -2$ — подходит,
• $x_2 = 23 > -2$ — подходит.

Ответ для задачи 2:

$$\boxed{ x_1 = -1.8, \quad x_2 = 23. }$$