ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 399 Алимов — Подробные Ответы

Найти три последовательных члена геометрической прогрессии, если их сумма равна 62, а сумма их десятичных логарифмов равна 3.

Сумма трех последовательных членов геометрической прогрессии равна 62, значит:

$$b_1+b_2+b_3=62;$$

$$$$$$b_1+b_2\cdot q+b_3\cdot q^2=62;$$

$$$$$$b_1\cdot (1+q+q^2)=62;$$

Сумма их десятичных логарифмов равна 3, значит:

$$\lg b_1+\lg b_2+\lg b_3=3;$$

$$$$$$\lg (b_1\cdot b_2\cdot b_3)=3;$$

$$$$$$\lg (b_1\cdot b_1\cdot q\cdot b_1\cdot q^2)=3;$$

$$$$$$\lg (b_{1}q{)}^3=3;$$

$$$$$$3\lg (b_{1}q)=3;$$

$$$$$$\lg (b_{1}q)=\lg 10;$$

$$$$$$b_{1}q=10,\text{ отсюда }{b}_1=\frac{10}{q};$$

Подставим значение $b_1$ в первое уравнение:

$$10(1+q+q^2)=62;$$

$$$$$$\frac{10+10q+10q^2-62q}{q}=0;$$

$$$$$$10q^2-52q+10=0;$$

$D={52}^2-4\cdot 10\cdot 10=2704-400=2304$, тогда:

$$q_1=\frac{52-48}{2\cdot 10}=\frac{4}{20}=0.2;$$

$$$$$$q_2=\frac{52+48}{2\cdot 10}=\frac{100}{20}=5;$$

Первое значение:

$$b_1=\frac{10}{q}=\frac{10}{0.2}=50;$$

$$$$$$b_2=b_1\cdot q=50\cdot 0.2=10;$$

$$$$$$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 0.2=2;$$

Второе значение:

$$b_1=\frac{10}{q}=\frac{10}{5}=2;$$

$$$$$$b_2=b_1\cdot q=2\cdot 5=10;$$

$$$$$$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 5=50;$$

Ответ: $2;10;50$.

Условие:

Даны три последовательных члена геометрической прогрессии: $b_1,b_2,b_3$.

1. Сумма этих трех чисел равна 62:

$$b_1+b_2+b_3=62$$

2. Сумма их десятичных логарифмов равна 3:

$${\log }_{10}{b}_1+{\log }_{10}{b}_2+{\log }_{10}{b}_3=3$$

Найти сами члены прогрессии.

Шаг 1: Используем определение геометрической прогрессии

Обозначим:

• $b_1$ — первый член прогрессии,
• $q$ — знаменатель прогрессии (то есть множитель, на который умножается каждый предыдущий член для получения следующего).

Тогда:

• $b_2=b_1\cdot q$,
• $b_3=b_1\cdot q^2$.

Шаг 2: Используем информацию о сумме членов

Подставим выражения $b_2=b_{1}q$, $b_3=b_1{q}^2$ в уравнение суммы:

$$b_1+b_{1}q+b_1{q}^2=62$$

Вынесем $b_1$ за скобки:

$$\begin{array}{cccc}& b_1(1+q+q^2)=62& & \text{(1)}\end{array}$$

Шаг 3: Используем условие про логарифмы

Дано:

$${\log }_{10}{b}_1+{\log }_{10}{b}_2+{\log }_{10}{b}_3=3$$

Подставим $b_2=b_{1}q$, $b_3=b_1{q}^2$:

$${\log }_{10}{b}_1+{\log }_{10}(b_{1}q)+{\log }_{10}(b_1{q}^2)$$

Используем свойства логарифмов:

• $\log (ab)=\log a+\log b$
• $\log (a^n)=n\log a$

Раскроем скобки:

$$\log b_1+(\log b_1+\log q)+(\log b_1+\log q^2)$$

Распишем:

$$\log b_1+\log b_1+\log q+\log b_1+2\log q$$

Соберем подобные:

$$3\log b_1+3\log q=3$$

Вынесем тройку:

$$3(\log b_1+\log q)=3$$

Разделим обе части на 3:

$$\log b_1+\log q=1$$

А это:

$$\begin{array}{cccc}& \log (b_{1}q)=1\Rightarrow b_{1}q=10& & \text{(2)}\end{array}$$

Шаг 4: Подставим $b_1=\frac{10}{q}$ в уравнение (1)

Из уравнения (2):

$$b_1=\frac{10}{q}$$

Теперь подставим это в уравнение (1):

$$\frac{10}{q}(1+q+q^2)=62$$

Раскроем скобки:

$$\frac{10(1+q+q^2)}{q}=62$$

Умножим обе части на $q$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$10(1+q+q^2)=62q$$

Раскроем левую часть:

$$10+10q+10q^2=62q$$

Переносим все в одну сторону:

$$\begin{array}{cccc}& 10q^2+10q+10-62q=0\Rightarrow 10q^2-52q+10=0& & \text{(3)}\end{array}$$

Шаг 5: Решаем квадратное уравнение (3)

Уравнение:

$$10q^2-52q+10=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-52{)}^2-4\cdot 10\cdot 10=2704-400=2304$$

Корень из 2304:

$$\sqrt{2304}=48$$

Теперь находим корни:

$$q_{1,2}=\frac{52\pm 48}{2\cdot 10}=\frac{52\pm 48}{20}$$

1. $q_1=\frac{52-48}{20}=\frac{4}{20}=0.2$
2. $q_2=\frac{52+48}{20}=\frac{100}{20}=5$

Шаг 6: Подставим оба значения $q$, найдем члены прогрессии

Вариант 1: $q=0.2$

$$b_1=\frac{10}{q}=\frac{10}{0.2}=50$$$$b_2=b_1\cdot q=50\cdot 0.2=10$$$$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 0.2=2$$

Вариант 2: $q=5$

$$b_1=\frac{10}{q}=\frac{10}{5}=2$$$$b_2=b_1\cdot q=2\cdot 5=10$$$$b_3=b_2\cdot q=10\cdot 5=50$$

Шаг 7: Проверка

Сумма членов:

• Первый набор: $50+10+2=62$
• Второй набор: $2+10+50=62$

Сумма логарифмов:

• Первый набор: $\log 50+\log 10+\log 2=\log (50\cdot 10\cdot 2)=\log 1000=3$
• Второй набор — те же числа, только в другом порядке, логарифмы также в сумме дают 3.

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 2;10;50}}$$

(или в обратном порядке: $\boxed{{\displaystyle 50;10;2}}$) — оба набора подходят, так как это одна и та же прогрессия в прямом и обратном порядке.