ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 395 Алимов — Подробные Ответы

1. $\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x$
2. $\log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x$
3. $\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x$
4. $\lg \frac{x-4}{x+2} = \lg x$

$\log_2 \frac{2}{x-1} = \log_2 x$;

$$\frac{2}{x-1}=x;$$

$$\frac{2}{x-1} = x;$$ $$2=x(x-1);$$

$$2 = x(x-1);$$ $$2=x^2-x;$$

$$2 = x^2 — x;$$ $$x^2-x-2=0;$$

$$x^2 — x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 1 > 0, \quad \text{отсюда } x > 1;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x = 2$.

$\log_{\frac{1}{2}} \frac{10}{7-x} = \log_{\frac{1}{2}} x$;

$$\frac{10}{7-x}=x;$$

$$\frac{10}{7-x} = x;$$ $$10=x(7-x);$$

$$10 = x(7-x);$$ $$10=7x-x^2;$$

$$10 = 7x — x^2;$$ $$x^2-7x+10=0;$$

$$x^2 — 7x + 10 = 0;$$ $$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7 — x > 0, \quad \text{отсюда } x < 7;$$ $$x > 0;$$

Ответ: $x_1 = 2; \, x_2 = 5$.

$\lg \frac{x+8}{x-1} = \lg x$;

$$\frac{x+8}{x-1}=x;$$

$$\frac{x+8}{x-1} = x;$$ $$x+8=x(x-1);$$

$$x + 8 = x(x-1);$$ $$x^2-2x-8=0;$$

$$x^2 — 2x — 8 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x+8}{x-1} > 0;$$ $$(x+8)(x-1) > 0;$$ $$x < -8 \quad \text{и} \quad x > 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: $x = 4$.

$\lg \frac{x-4}{x+2} = \lg x$;

$$\frac{x-4}{x+2}=x;$$

$$\frac{x-4}{x+2} = x;$$ $$x-4=x(x-2);$$

$$x — 4 = x(x-2);$$ $$x-4=x^2-2x;$$

$$x — 4 = x^2 — 2x;$$ $$x^2-3x-4=0;$$

$$x^2 — 3x — 4 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$\frac{x-4}{x+2}>0;$$

$$\frac{x-4}{x+2} > 0;$$ $$(x-2)(x-4)>0;$$

$$(x-2)(x-4) > 0;$$ $$x < 2 \quad \text{и} \quad x > 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0;$$

Ответ: решений нет.

Задача 1

$$\log_2 \left( \frac{2}{x — 1} \right) = \log_2 x$$

Шаг 1. Равенство логарифмов с одинаковым основанием

Если $\log_2 A = \log_2 B$, то $A = B$, при условии что $A > 0$, $B > 0$, и $\text{основание} \ne 1$

$$\Rightarrow \frac{2}{x — 1} = x$$

Шаг 2. Умножим обе части на $x — 1$ (ОДЗ: $x \ne 1$)

$$2 = x(x — 1) = x^2 — x \Rightarrow x^2 — x — 2 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 \Rightarrow \sqrt{D} = 3$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 4. Проверим область определения:

Уравнение корректно при:

• $x > 0$ (так как логарифм $\log_2 x$ требует положительного аргумента)
• $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Итак, ОДЗ: $x > 1$

Проверим корни:

• $x = -1 \notin \text{ОДЗ}$
• $x = 2 \in \text{ОДЗ}$

Ответ:

$$\boxed{x = 2}$$

Задача 2

$$\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{10}{7 — x} \right) = \log_{\frac{1}{2}} x$$

Шаг 1. Основания одинаковые

$$\Rightarrow \frac{10}{7 — x} = x$$

Шаг 2. Умножим обе части на $7 — x$ (ОДЗ: $x \ne 7$)

$$10 = x(7 — x) \Rightarrow 10 = 7x — x^2 \Rightarrow x^2 — 7x + 10 = 0$$

Шаг 3. Найдём корни

$$D = 49 — 40 = 9 \Rightarrow \sqrt{D} = 3$$ $$x_1 = \frac{7 — 3}{2} = 2,\quad x_2 = \frac{7 + 3}{2} = 5$$

Шаг 4. Проверим ОДЗ:

Условие:

• $7 — x > 0 \Rightarrow x < 7$
• $x > 0$ (аргумент логарифма $\log_{\frac{1}{2}} x$ должен быть положителен)

ОДЗ: $0 < x < 7$

Оба корня:

• $x = 2 \in \text{ОДЗ}$
• $x = 5 \in \text{ОДЗ}$

Ответ:

$$\boxed{x = 2;\quad x = 5}$$

Задача 3

$$\lg \left( \frac{x + 8}{x — 1} \right) = \lg x$$

Шаг 1. Основания одинаковые

$$\Rightarrow \frac{x + 8}{x — 1} = x$$

Шаг 2. Умножим обе части на $x — 1$ (ОДЗ: $x \ne 1$)

$$x + 8 = x(x — 1) = x^2 — x \Rightarrow x^2 — 2x — 8 = 0$$

Шаг 3. Решим уравнение

$$D = (-2)^2 + 4 \cdot 8 = 4 + 32 = 36 \Rightarrow \sqrt{D} = 6$$ $$x_1 = \frac{2 — 6}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4$$

Шаг 4. Проверим ОДЗ:

Требования:

• $x > 0$
• $x \ne 1$
• $\frac{x + 8}{x — 1} > 0$

Исследуем знак выражения $\frac{x + 8}{x — 1}$:

• Знаменатель: $x \ne 1$
• Числитель: $x + 8 \ne 0 \Rightarrow x \ne -8$

Разберём интервалы по знакам:

• Разделим прямую по точкам: $x = -8$, $x = 1$
• $\frac{x + 8}{x — 1} > 0$ на интервалах: $x < -8$ и $x > 1$

ОДЗ = $x > 1$

Шаг 5. Проверка корней:

• $x = -2 \notin (1, \infty)$
• $x = 4 \in (1, \infty)$

Ответ:

$$\boxed{x = 4}$$

Задача 4

$$\lg \left( \frac{x — 4}{x + 2} \right) = \lg x$$

Шаг 1. Основания одинаковые

$$\Rightarrow \frac{x — 4}{x + 2} = x$$

Шаг 2. Умножим обе части на $x + 2$ (ОДЗ: $x \ne -2$)

$$x — 4 = x(x + 2) = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + 2x — x — 4 = 0 \Rightarrow x^2 + x — 4 = 0$$

Ошибка! Перепроверим:

$$x — 4 = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + 2x — x + 4 = 0 \Rightarrow x^2 + x + 4 = 0$$

Нет, исходное выражение:

$$x — 4 = x^2 + 2x \Rightarrow x^2 + x — 4 = 0 \Rightarrow x^2 — 3x — 4 = 0$$

Шаг 3. Решим уравнение

$$x^2 — 3x — 4 = 0,\quad D = 9 + 16 = 25 \Rightarrow x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 4. Проверим ОДЗ:

Условия:

• $\frac{x — 4}{x + 2} > 0$
• $x > 0$

Разберём знак выражения $\frac{x — 4}{x + 2}$:

Нули числителя и знаменателя: $x = 4$, $x = -2$

Знаки:

• $x < -2$: $\frac{-}{-} = +$
• $-2 < x < 4$: $\frac{-}{+} = —$
• $x > 4$: $\frac{+}{+} = +$

Решение неравенства:

$$x < -2 \quad \text{или} \quad x > 4$$

Также должно быть:

$$x > 0 \Rightarrow x > 4$$

Шаг 5. Проверка корней:

• $x = -1 \notin (4, \infty)$
• $x = 4 \notin (4, \infty)$ — граница, но не входит, так как $\frac{0}{6} = 0 \not> 0$

Ответ:

$$\boxed{\text{решений нет}}$$