ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 393 Алимов — Подробные Ответы

1. log корень 2 (x) + 4log4(x) + log8(x) =13;
2. log0,5(x+2) — log2(x-3)=1/2 log 1/корень 2 (-4x-8).

$\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13$;

$${\log }_{\frac{1}{2^2}}x+4{\log }_{2^2}x+{\log }_{2^3}x=13;$$

$$\log_{\frac{1}{2^2}} x + 4 \log_{2^2} x + \log_{2^3} x = 13;$$ $$2{\log }_{2}x+2{\log }_{2}x+\frac{1}{3}{\log }_{2}x=13;$$

$$2 \log_2 x + 2 \log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = 13;$$ $${\log }_{2}x\cdot (2+2+\frac{1}{3})=13;$$

$$\log_2 x \cdot \left( 2 + 2 + \frac{1}{3} \right) = 13;$$ $${\log }_{2}x\cdot (\frac{6}{3}+\frac{6}{3}+\frac{1}{3})=13;$$

$$\log_2 x \cdot \left( \frac{6}{3} + \frac{6}{3} + \frac{1}{3} \right) = 13;$$ $${\log }_{2}x\cdot \frac{13}{3}=13;$$

$$\log_2 x \cdot \frac{13}{3} = 13;$$ $${\log }_{2}x=3;$$

$$\log_2 x = 3;$$ $${\log }_{2}x={\log }_2{2}^3;$$

$$\log_2 x = \log_2 2^3;$$ $$x = 2^3 = 8;$$

Ответ: $x = 8$.

$\log_{0.5}(x + 2) — \log_2(x — 3) = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}}(-4x — 8)$;

Выражение имеет смысл при:

$$x+2>0,\text{ отсюда }x>-2;$$

$$x + 2 > 0, \text{ отсюда } x > -2;$$ $$x — 3 > 0, \text{ отсюда } x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$-4x-8>0;$$

$$-4x — 8 > 0;$$ $$-x-2>0;$$

$$-x — 2 > 0;$$ $$x + 2 < 0, \text{ отсюда } x < -2;$$

Ответ: решений нет.

Задание 1

$$\log_{\sqrt{2}} x + 4 \log_4 x + \log_8 x = 13$$

Шаг 1: Приведем все логарифмы к одному основанию – $\log_2 x$

$\log_{\sqrt{2}} x$:

$$\sqrt{2} = 2^{1/2} \Rightarrow \log_{\sqrt{2}} x = \log_{2^{1/2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{1/2}} = \frac{\log_2 x}{1/2} = 2 \log_2 x$$

$\log_4 x$:

$$4 = 2^2 \Rightarrow \log_4 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 4} = \frac{\log_2 x}{2} \Rightarrow 4 \log_4 x = 4 \cdot \frac{\log_2 x}{2} = 2 \log_2 x$$

$\log_8 x$:

$$8 = 2^3 \Rightarrow \log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{3}$$

Шаг 2: Подставим всё в исходное уравнение

$$2\log_2 x + 2\log_2 x + \frac{1}{3}\log_2 x = 13$$

Шаг 3: Сложим коэффициенты

$$\left(2 + 2 + \frac{1}{3}\right)\log_2 x = 13 \Rightarrow \left(\frac{6}{3} + \frac{6}{3} + \frac{1}{3}\right)\log_2 x = 13 \Rightarrow \frac{13}{3} \log_2 x = 13$$

Шаг 4: Найдём $\log_2 x$

$$\log_2 x = \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{13} = 3$$

Шаг 5: Переходим к $x$

$$\log_2 x = \log_2 2^3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$

Ответ:

$$\boxed{x = 8}$$

Задание 2

$$\log_{0.5}(x + 2) — \log_2(x — 3) = \frac{1}{2} \log_{\sqrt{2}}(-4x — 8)$$

Шаг 1: Область определения (ОДЗ)

Для логарифма $\log_a b$ необходимо:

• $b > 0$
• $a > 0, a \ne 1$

Условие 1: $\log_{0.5}(x + 2)$

• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

Условие 2: $\log_2(x — 3)$

• $x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

Условие 3: $\log_{\sqrt{2}}(-4x — 8)$

• $-4x — 8 > 0 \Rightarrow -4x > 8 \Rightarrow x < -2$

Шаг 2: Совместим все условия

• $x > -2$
• $x > 3$
• $x < -2$

Одновременно выполнить условия невозможно. Например:

• $x > 3$ и $x < -2$ несовместимы.
• Следовательно, ОДЗ — пустое множество.

Ответ:

$$\boxed{\text{решений нет}}$$