ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 392 Алимов — Подробные Ответы

1. log3 (2 — x2) — log3 (-x) = 0;
2. log5 (x2 — 12) — log5 (-x) = 0;
3. log2 (корень 3) + log2 (корень 3x-7) = 2;
4. lg (x + 6) — lg (корень 2x-3) = lg 4.

1. $${\log }_3(2-x^2)-{\log }_3(-x)=0;$$

$$\log_3(2 — x^2) — \log_3(-x) = 0;$$ $${\log }_3(2-x^2)={\log }_3(-x);$$

$$\log_3(2 — x^2) = \log_3(-x);$$ $$2-x^2=-x;$$

$$2 — x^2 = -x;$$ $$x^2-x-2=0;$$

$$x^2 — x — 2 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2-x^2>0;$$

$$2 — x^2 > 0;$$ $$x^2<2;$$

$$x^2 < 2;$$ $$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2};$$

Выражение имеет смысл при:

$$-x > 0, \text{отсюда } x < 0;$$

Ответ: $x = -1$.

2.$${\log }_5(x^2-12)-{\log }_5(-x)=0;$$

$$\log_5(x^2 — 12) — \log_5(-x) = 0;$$ $${\log }_5(x^2-12)={\log }_5(-x);$$

$$\log_5(x^2 — 12) = \log_5(-x);$$ $$x^2-12=-x;$$

$$x^2 — 12 = -x;$$ $$x^2+x-12=0;$$

$$x^2 + x — 12 = 0;$$ $$D=1^2+4\cdot 12=1+48=49,\text{тогда:}$$

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2-12>0;$$

$$x^2 — 12 > 0;$$ $$x^2>12;$$

$$x^2 > 12;$$ $$x < -2\sqrt{3} \text{ и } x > 2\sqrt{3};$$

Выражение имеет смысл при:

$$-x > 0, \text{отсюда } x < 0;$$

Ответ: $x = -4$.

3.$${\log }_2\sqrt{x-3}+{\log }_2\sqrt{3x-7}=2;$$

$$\log_2 \sqrt{x — 3} + \log_2 \sqrt{3x — 7} = 2;$$ $${\log }_2\sqrt{(x-3)(3x-7)}={\log }_2{2}^2;$$

$$\log_2 \sqrt{(x — 3)(3x — 7)} = \log_2 2^2;$$ $$\sqrt{(x-3)(3x-7)}=4;$$

$$\sqrt{(x — 3)(3x — 7)} = 4;$$ $$\sqrt{3x^2-7x-9x+21}=4;$$

$$\sqrt{3x^2 — 7x — 9x + 21} = 4;$$ $$3x^2-16x+21=16;$$

$$3x^2 — 16x + 21 = 16;$$ $$3x^2-16x+5=0;$$

$$3x^2 — 16x + 5 = 0;$$ $$D={16}^2-4\cdot 3\cdot 5=256-60=196,\text{тогда:}$$

$$D = 16^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 — 60 = 196, \text{тогда:}$$ $$x_1=\frac{16-14}{2\cdot 3}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3};$$

$$x_1 = \frac{16 — 14}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3};$$ $$x_2 = \frac{16 + 14}{2 \cdot 3} = \frac{30}{6} = 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-3>0,\text{отсюда }x>3;$$

$$x — 3 > 0, \text{отсюда } x > 3;$$ $$3x — 7 > 0, \text{отсюда } x > \frac{7}{3};$$

Ответ: $x = 5$.

4. $$\lg (x+6)-\lg (\sqrt{2x-3})=\lg 4;$$

$$\lg(x + 6) — \lg(\sqrt{2x — 3}) = \lg 4;$$ $$\lg \frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}=\lg 4;$$

$$\lg \frac{x + 6}{\sqrt{2x — 3}} = \lg 4;$$ $$\frac{x+6}{\sqrt{2x-3}}=4;$$

$$\frac{x + 6}{\sqrt{2x — 3}} = 4;$$ $$x+6=4\sqrt{2x-3};$$

$$x + 6 = 4\sqrt{2x — 3};$$ $$x^2+12x+36=16(2x-3);$$

$$x^2 + 12x + 36 = 16(2x — 3);$$ $$x^2+12x+36=32x-48;$$

$$x^2 + 12x + 36 = 32x — 48;$$ $$x^2-20x+84=0;$$

$$x^2 — 20x + 84 = 0;$$ $$D={20}^2-4\cdot 84=400-336=64,\text{тогда:}$$

$$D = 20^2 — 4 \cdot 84 = 400 — 336 = 64, \text{тогда:}$$ $$x_1 = \frac{20 — 8}{2} = 6 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{20 + 8}{2} = 14;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+6>0,\text{отсюда }x>-6;$$

$$x + 6 > 0, \text{отсюда } x > -6;$$ $$2x — 3 > 0, \text{отсюда } x > 1.5;$$

Ответ: $x_1 = 6$; $x_2 = 14$.

Задание 1

$$\log_3(2 — x^2) — \log_3(-x) = 0$$

Шаг 1: Применим свойство разности логарифмов

$$\log_a A — \log_a B = \log_a \left(\frac{A}{B}\right)$$ $$\Rightarrow \log_3\left(\frac{2 — x^2}{-x}\right) = 0$$

Шаг 2: Перейдём от логарифма к основанию

$$\log_3 A = 0 \Rightarrow A = 1$$ $$\Rightarrow \frac{2 — x^2}{-x} = 1$$

Шаг 3: Решим уравнение

$$2 — x^2 = -x \Rightarrow x^2 — x — 2 = 0$$

Шаг 4: Найдём дискриминант

$$D = (-1)^2 + 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 8 = 9 \Rightarrow \sqrt{D} = 3$$

Шаг 5: Найдём корни

$$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$$

Шаг 6: Проверим область определения (ОДЗ)

Условие 1: $\log_3(2 — x^2)$ определён ⇔

$$2 — x^2 > 0 \Rightarrow x^2 < 2 \Rightarrow -\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$$

Условие 2: $\log_3(-x)$ определён ⇔

$$-x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Общий интервал существования:

$$-\sqrt{2} < x < 0$$

Шаг 7: Проверим корни на принадлежность ОДЗ

• $x = -1 \in (-\sqrt{2}, 0)$
• $x = 2 \notin (-\sqrt{2}, 0)$

Ответ:

$$\boxed{x = -1}$$

Задание 2

$$\log_5(x^2 — 12) — \log_5(-x) = 0$$

Шаг 1: Объединяем логарифмы

$$\log_5\left(\frac{x^2 — 12}{-x}\right) = 0 \Rightarrow \frac{x^2 — 12}{-x} = 1$$

Шаг 2: Решаем уравнение

$$x^2 — 12 = -x \Rightarrow x^2 + x — 12 = 0$$

Шаг 3: Дискриминант и корни

$$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49 \Rightarrow \sqrt{D} = 7$$ $$x_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4,\quad x_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$$

Шаг 4: ОДЗ

$\log_5(x^2 — 12)$ определён:

$$x^2 — 12 > 0 \Rightarrow x^2 > 12 \Rightarrow x < -2\sqrt{3} \text{ или } x > 2\sqrt{3}$$

$\log_5(-x)$ определён:

$$-x > 0 \Rightarrow x < 0$$

Общий интервал:

$$x < -2\sqrt{3}$$

Шаг 5: Проверка корней

• $x = -4 \approx -3.99 \in (-\infty, -2\sqrt{3})$
• $x = 3 \notin (-\infty, -2\sqrt{3})$

Ответ:

$$\boxed{x = -4}$$

Задание 3

$$\log_2 \sqrt{x — 3} + \log_2 \sqrt{3x — 7} = 2$$

Шаг 1: Используем логарифм произведения

$$\log_2\left(\sqrt{(x — 3)(3x — 7)}\right) = 2$$

Шаг 2: Переход к основанию

$$\sqrt{(x — 3)(3x — 7)} = 2^2 = 4$$

Шаг 3: Возводим в квадрат

$$(x — 3)(3x — 7) = 16$$

Раскрываем скобки:

$$3x^2 — 7x — 9x + 21 = 3x^2 — 16x + 21 \Rightarrow 3x^2 — 16x + 21 = 16$$

Шаг 4: Приводим уравнение к стандартному виду

$$3x^2 — 16x + 5 = 0$$

Шаг 5: Решим квадратное уравнение

$$D = (-16)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 5 = 256 — 60 = 196 \Rightarrow \sqrt{D} = 14$$ $$x_1 = \frac{16 — 14}{6} = \frac{1}{3},\quad x_2 = \frac{16 + 14}{6} = \frac{30}{6} = 5$$

Шаг 6: Проверка ОДЗ

• $x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3$
• $3x — 7 > 0 \Rightarrow x > \frac{7}{3} \approx 2.33$

Итого:

$$x > 3$$

Шаг 7: Проверка корней

• $x = \frac{1}{3} \notin (3, \infty)$
• $x = 5 \in (3, \infty)$

Ответ:

$$\boxed{x = 5}$$

Задание 4

$$\lg(x + 6) — \lg(\sqrt{2x — 3}) = \lg 4$$

Шаг 1: Используем логарифм частного

$$\lg\left(\frac{x + 6}{\sqrt{2x — 3}}\right) = \lg 4 \Rightarrow \frac{x + 6}{\sqrt{2x — 3}} = 4$$

Шаг 2: Домножим обе части на $\sqrt{2x — 3}$:

$$x + 6 = 4\sqrt{2x — 3}$$

Шаг 3: Возведём в квадрат обе части

$$x^2 + 12x + 36 = 16(2x — 3) \Rightarrow x^2 + 12x + 36 = 32x — 48$$ $$x^2 — 20x + 84 = 0$$

Шаг 4: Найдём дискриминант и корни

$$D = 20^2 — 4 \cdot 84 = 400 — 336 = 64,\quad \sqrt{D} = 8$$ $$x_1 = \frac{20 — 8}{2} = 6,\quad x_2 = \frac{20 + 8}{2} = 14$$

Шаг 5: Проверка ОДЗ

• $x + 6 > 0 \Rightarrow x > -6$
• $2x — 3 > 0 \Rightarrow x > 1.5$

Общий интервал:

$$x > 1.5$$

Шаг 6: Проверка корней

• $x = 6 \in (1.5, \infty)$
• $x = 14 \in (1.5, \infty)$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = 6;\quad x_2 = 14}$$