ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 389 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически уравнение:

1. log3(x) = 3/x;
2. 2х = log1/2(х).

$\log_3 x = \frac{3}{x}$;

$y = \log_3 x$ — логарифмическая функция:

$y = \frac{3}{x}$ — уравнение гиперболы:

$x \ne 0$ и $y \ne 0$;

Ответ: $x = 3$.

$2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$;

$y = 2^x$ — показательная функция:

$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — логарифмическая функция:

Ответ: $x \approx 0{,}4$.

Задача 1.

Условие:
Решить уравнение:

$$\log_3 x = \frac{3}{x}$$

Шаг 1: Область определения

Разберёмся, при каких $x$ уравнение имеет смысл:

• $\log_3 x$ определён только при $x > 0$
• $\frac{3}{x}$ определён при $x \ne 0$

Следовательно, ОДЗ:

$$x > 0$$

Шаг 2: Построение графиков

1. График функции $y = \log_3 x$

Это логарифмическая функция. Она возрастает, проходит через точку (1, 0), и при:

• $x = 3$ → $y = 1$
• $x = 9$ → $y = 2$

Таблица значений:

2. График функции $y = \frac{3}{x}$

Это гипербола с вертикальной и горизонтальной асимптотами:

• Ось $x = 0$ — вертикальная асимптота
• Ось $y = 0$ — горизонтальная асимптота

Таблица значений:

Шаг 3: Нахождение точки пересечения графиков

Чтобы найти $x$, при котором оба выражения равны, ищем точку пересечения графиков.

На графике видно, что:

$$\log_3 x = \frac{3}{x} \quad \text{при } x = 3$$

Проверка:

• $\log_3 3 = 1$
• $\frac{3}{3} = 1$

Совпадает. Значит,

$$\boxed{x = 3}$$

Ответ к задаче 1:

$$\boxed{x = 3}$$

Задача 2.

Условие:
Решить уравнение:

$$2^x = \log_{\frac{1}{2}} x$$

Шаг 1: Область определения

• $2^x$ определена на всей числовой прямой: $x \in \mathbb{R}$
• $\log_{\frac{1}{2}} x$ определена только при $x > 0$

ОДЗ:

$$x > 0$$

Шаг 2: Построение графиков

1. График функции $y = 2^x$

Это показательная функция, она возрастает.

Таблица значений:

2. График функции $y = \log_{\frac{1}{2}} x$

Это логарифмическая функция с основанием меньше 1 — убывающая.

Таблица значений:

Шаг 3: Нахождение точки пересечения графиков

На графике видно, что обе функции пересекаются примерно при $x \approx 0{,}4$

Проверка численно (необязательно, но можно уточнить):

$$x = 0.4$$

• $2^{0.4} \approx 1.32$
• $\log_{1/2}(0.4) = \frac{\log(0.4)}{\log(0.5)} \approx \frac{-0.398}{-0.301} \approx 1.32$

Обе части уравнения равны — это искомое значение.

Ответ к задаче 2:

$$\boxed{x \approx 0{,}4}$$