ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 388 Алимов — Подробные Ответы

При каких значениях х справедливо неравенство:

1. logx(8) < logx(10);
2. logx(3/4) < logx(1/2)?

1) $\log_x 8 < \log_x 10$:

Рассмотрим функцию $y = \log_x a$:

• $8 < 10$
• $y(8) < y(10)$

Значит, функция возрастает, тогда $x > 1$.

Ответ: $x > 1$.

2) $\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$:

Рассмотрим функцию $y = \log_x a$:

• $\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$
• $y\left(\frac{3}{4}\right) < y\left(\frac{1}{2}\right)$

Значит, функция убывает, тогда $0 < x < 1$.

Ответ: $0 < x < 1$.

1) Неравенство:

$$\log_x 8 < \log_x 10$$

Шаг 1: Обозначим логарифмическую функцию

Рассматриваем функцию:

$$y = \log_x a$$

где $a$ — положительное число (в нашем случае это либо 8, либо 10), а $x$ — основание логарифма.

Важно:
Функция $\log_x a$ определена только при:

• $x > 0$,
• $x \ne 1$,
• $a > 0$.

Это следует из определения логарифма:

$$\log_x a = b \iff x^b = a$$

Шаг 2: Понимание поведения функции $y = \log_x a$

Функция $y = \log_x a$ ведёт себя по-разному в зависимости от значения основания $x$:

• Если $x > 1$, то логарифмическая функция возрастает:
  $a_1 < a_2 \Rightarrow \log_x a_1 < \log_x a_2$
• Если $0 < x < 1$, то логарифмическая функция убывает:
  $a_1 < a_2 \Rightarrow \log_x a_1 > \log_x a_2$

Шаг 3: Сравниваем аргументы логарифмов

У нас:

$$8 < 10$$

То есть:

• $a_1 = 8$
• $a_2 = 10$

Шаг 4: Применяем свойства монотонности логарифма

Условие задачи:

$$\log_x 8 < \log_x 10$$

Мы уже знаем:

• Если $x > 1$, то логарифм возрастает, и тогда $\log_x 8 < \log_x 10$
• Если $0 < x < 1$, то логарифм убывает, и тогда наоборот: $\log_x 8 > \log_x 10$

Шаг 5: Делаем вывод

Из условия задачи $\log_x 8 < \log_x 10$ следует, что логарифмическая функция возрастает.

Следовательно:

$$x > 1$$

Ответ:

$$\boxed{x > 1}$$

2) Неравенство:

$$\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Проверим область определения

Так как логарифмы от положительных чисел, и $x$ — основание логарифма, то по определению:

• $x > 0$, $x \ne 1$
• Аргументы $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{2}$ — положительные числа → логарифмы определены

Шаг 2: Сравним аргументы логарифмов

$$\frac{3}{4} > \frac{1}{2}$$

То есть:

• $a_1 = \frac{3}{4}$
• $a_2 = \frac{1}{2}$

Шаг 3: Применим свойства монотонности

Если логарифмическая функция возрастает (при $x > 1$), то:

$$\frac{3}{4} > \frac{1}{2} \Rightarrow \log_x \frac{3}{4} > \log_x \frac{1}{2}$$

Если убывает (при $0 < x < 1$), то:

$$\frac{3}{4} > \frac{1}{2} \Rightarrow \log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Смотрим на знак в неравенстве

$$\log_x \frac{3}{4} < \log_x \frac{1}{2}$$

Это возможно только при убывающей логарифмической функции, то есть при:

$$0 < x < 1$$

Ответ:

$$\boxed{0 < x < 1}$$