ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 381 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (381—383).

1. log2(x-5) < =2;
2. log3(7-x) > 1;
3. log1/2(2x+1) > -2;
4. log1/2(3-5x) < -3.

1)

$${\log }_2(x-5)\le 2;$$

$$\log_2(x — 5) \leq 2;$$ $${\log }_2(x-5)\le {\log }_2{2}^2;$$

$$\log_2(x — 5) \leq \log_2 2^2;$$ $$x-5\le 2^2;$$

$$x — 5 \leq 2^2;$$ $$x — 5 \leq 4, \text{ отсюда } x \leq 9;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 5 > 0, \text{ отсюда } x > 5;$$

Ответ: $5 < x \leq 9$

2)

$${\log }_3(7-x)>1;$$

$$\log_3(7 — x) > 1;$$ $${\log }_3(7-x)>{\log }_{3}3;$$

$$\log_3(7 — x) > \log_3 3;$$ $$7-x>3;$$

$$7 — x > 3;$$ $$-x > -4, \text{ отсюда } x < 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$7 — x > 0, \text{ отсюда } x < 7;$$

Ответ: $x < 4$

3)

$${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)>-2;$$

$$\log_{\frac{1}{2}}(2x + 1) > -2;$$ $${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+1)>{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$$

$$\log_{\frac{1}{2}}(2x + 1) > \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-2};$$ $$2x+1\le {\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2};$$

$$2x + 1 \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{-2};$$ $$2x+1<2^2;$$

$$2x + 1 < 2^2;$$ $$2x+1<4;$$

$$2x + 1 < 4;$$ $$2x < 3, \text{ отсюда } x < 1{,}5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x+1>0;$$

$$2x + 1 > 0;$$ $$2x > -1, \text{ отсюда } x > -0{,}5;$$

Ответ: $-0{,}5 < x < 1{,}5$

4)

$${\log }_{\frac{1}{2}}(3-5x)<-3;$$

$$\log_{\frac{1}{2}}(3 — 5x) < -3;$$ $${\log }_{\frac{1}{2}}(3-5x)<{\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3};$$

$$\log_{\frac{1}{2}}(3 — 5x) < \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{-3};$$ $$3-5x>{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-3};$$

$$3 — 5x > \left( \frac{1}{2} \right)^{-3};$$ $$3-5x>2^3;$$

$$3 — 5x > 2^3;$$ $$3-5x>8;$$

$$3 — 5x > 8;$$ $$-5x > 5, \text{ отсюда } x < -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3-5x>0;$$

$$3 — 5x > 0;$$ $$5x < 3, \text{ отсюда } x < 0{,}6;$$

Ответ: $x < -1$

1)

$$\log_2(x — 5) \leq 2$$

Шаг 1. Область определения логарифма:

Логарифм существует только при положительном аргументе:

$$x — 5 > 0 \Rightarrow x > 5$$

Шаг 2. Используем свойство логарифмов:

Сравним с числом:

$$2 = \log_2 2^2 = \log_2 4$$

Подставим:

$$\log_2(x — 5) \leq \log_2 4$$

Поскольку основание логарифма $2 > 1$, функция возрастает, и знак неравенства сохраняется:

$$x — 5 \leq 4 \Rightarrow x \leq 9$$

Шаг 3. Учитываем область определения:

$$x > 5 \quad \text{и} \quad x \leq 9 \Rightarrow \boxed{5 < x \leq 9}$$

Ответ 1:

$$\boxed{5 < x \leq 9}$$

2)

$$\log_3(7 — x) > 1$$

Шаг 1. Область определения:

$$7 — x > 0 \Rightarrow x < 7$$

Шаг 2. Представим 1 как логарифм:

$$1 = \log_3 3$$

Подставим:

$$\log_3(7 — x) > \log_3 3$$

Так как основание $3 > 1$, функция возрастает, знак сохраняется:

$$7 — x > 3 \Rightarrow -x > -4 \Rightarrow x < 4$$

Шаг 3. Учитываем обе части:

$$x < 7 \quad \text{и} \quad x < 4 \Rightarrow \boxed{x < 4}$$

Ответ 2:

$$\boxed{x < 4}$$

3)

$$\log_{\frac{1}{2}}(2x + 1) > -2$$

Шаг 1. Область определения:

$$2x + 1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -0.5$$

Шаг 2. Представим -2 как логарифм:

$$-2 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-2} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Подставим:

$$\log_{\frac{1}{2}}(2x + 1) > \log_{\frac{1}{2}} 4$$

Основание $\frac{1}{2} < 1$ → логарифмическая функция убывает, знак меняется на противоположный:

$$2x + 1 < 4 \Rightarrow 2x < 3 \Rightarrow x < 1.5$$

Шаг 3. Учитываем обе части:

$$x > -0.5 \quad \text{и} \quad x < 1.5 \Rightarrow \boxed{-0.5 < x < 1.5}$$

Ответ 3:

$$\boxed{-0.5 < x < 1.5}$$

4)

$$\log_{\frac{1}{2}}(3 — 5x) < -3$$

Шаг 1. Область определения:

$$3 — 5x > 0 \Rightarrow 5x < 3 \Rightarrow x < 0.6$$

Шаг 2. Представим -3 как логарифм:

$$-3 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{-3} \right) = \log_{\frac{1}{2}} 8$$

Подставим:

$$\log_{\frac{1}{2}}(3 — 5x) < \log_{\frac{1}{2}} 8$$

Основание $\frac{1}{2} < 1$ → функция убывает, поэтому знак меняется:

$$3 — 5x > 8 \Rightarrow -5x > 5 \Rightarrow x < -1$$

Шаг 3. Учитываем область определения:

$$x < 0.6 \quad \text{и} \quad x < -1 \Rightarrow \boxed{x < -1}$$

Ответ 4:

$$\boxed{x < -1}$$