ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 379 Алимов — Подробные Ответы

1. lg (x2 — 2х) = lg30 — 1;
2. log3 (2×2 + x) = log3(6) — log3(2);
3. lg2(x) — 3lgx = 4;
4. log2x — 5 log2(x) + 6 = 0.

1)$$\lg(x^2 — 2x) = \lg 30 — 1;$$ $$\lg(x^2 — 2x) = \lg 30 — \lg 10;$$ $$\lg(x^2 — 2x) = \lg \frac{30}{10};$$ $$\lg(x^2 — 2x) = \lg 3;$$ $$x^2 — 2x = 3;$$ $$x^2 — 2x — 3 = 0;$$ $$D = 2^2 + 4 \cdot 3 = 4 + 12 = 16, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{2 — 4}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x^2 — 2x > 0;$$ $$x(x — 2) > 0;$$ $$x < 0 \text{ и } x > 2;$$

Ответ: $x_1 = -1$; $x_2 = 3$.

2)$$\log_3(2x^2 + x) = \log_3 6 — \log_3 2;$$ $$\log_3(2x^2 + x) = \log_3 \frac{6}{2};$$ $$\log_3(2x^2 + x) = \log_3 3;$$ $$2x^2 + x = 3;$$ $$2x^2 + x — 3 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -1{,}5;$$ $$x_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x^2 + x > 0;$$ $$(2x + 1)x > 0;$$ $$x < -0{,}5 \text{ и } x > 0;$$

Ответ: $x_1 = -1{,}5$; $x_2 = 1$.

3)$$\lg^2 x — 3 \lg x = 4;$$ $$\lg^2 x — 3 \lg x — 4 = 0;$$

Пусть $y = \lg x$, тогда:

$$y^2 — 3y — 4 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \text{ и } y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

Первое значение:

$$\lg x = -1;$$ $$\lg x = \lg 10^{-1};$$ $$x = 10^{-1} = 0{,}1;$$

Второе значение:

$$\lg x = 4;$$ $$\lg x = \lg 10^4;$$ $$x = 10^4 = 10000;$$

Ответ: $x_1 = 0{,}1$; $x_2 = 10000$.

4)$$\log_2^2 x — 5 \log_2 x + 6 = 0;$$

Пусть $y = \log_2 x$, тогда:

$$y^2 — 5y + 6 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1, \text{ тогда:}$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2 \text{ и } y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3;$$

Первое значение:

$$\log_2 x = 2;$$ $$\log_2 x = \log_2 2^2;$$ $$x = 2^2 = 4;$$

Второе значение:

$$\log_2 x = 3;$$ $$\log_2 x = \log_2 2^3;$$ $$x = 2^3 = 8;$$

Ответ: $x_1 = 4$; $x_2 = 8$.

1)

$$\lg(x^2 — 2x) = \lg 30 — 1$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть:

Число 1 в логарифмах:

$$1 = \lg 10$$

Заменим:

$$\lg(x^2 — 2x) = \lg 30 — \lg 10$$

Шаг 2. Применим формулу разности логарифмов:

$$\lg a — \lg b = \lg \left(\frac{a}{b}\right)$$ $$\lg(x^2 — 2x) = \lg \left( \frac{30}{10} \right ) = \lg 3$$

Шаг 3. Логарифмы равны → аргументы равны:

$$x^2 — 2x = 3$$

Шаг 4. Переносим всё в одну сторону:

$$x^2 — 2x — 3 = 0$$

Шаг 5. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$$ $$x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \Rightarrow x_1 = -1,\quad x_2 = 3$$

Шаг 6. Проверим область определения:

Функция: $\lg(x^2 — 2x)$
Область определения:

$$x^2 — 2x > 0 \Rightarrow x(x — 2) > 0$$

Решаем методом интервалов:

• $x < 0$
• $x > 2$

Шаг 7. Проверим корни:

• $x = -1 \Rightarrow \text{подходит (}x < 0\text{)}$
• $x = 3 \Rightarrow \text{подходит (}x > 2\text{)}$

Ответ 1:

$$\boxed{x_1 = -1; \quad x_2 = 3}$$

2)

$$\log_3(2x^2 + x) = \log_3 6 — \log_3 2$$

Шаг 1. Преобразуем правую часть с помощью формулы:

$$\log_b a — \log_b c = \log_b \left( \frac{a}{c} \right )$$ $$\log_3(2x^2 + x) = \log_3 \left( \frac{6}{2} \right ) = \log_3 3$$

Шаг 2. Аргументы равны:

$$2x^2 + x = 3$$ $$2x^2 + x — 3 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

$$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$$ $$x_1 = \frac{-1 — 5}{4} = \frac{-6}{4} = -1.5; \quad x_2 = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Шаг 4. Область определения логарифма:

$$2x^2 + x > 0 \Rightarrow x(2x + 1) > 0$$

Разложим:

• Корни: $x = 0$, $x = -\frac{1}{2}$
• Решение: $x < -0.5$ или $x > 0$

Шаг 5. Проверим корни:

• $x = -1.5 \Rightarrow x < -0.5$ → подходит
• $x = 1 \Rightarrow x > 0$ → подходит

Ответ 2:

$$\boxed{x_1 = -1{,}5; \quad x_2 = 1}$$

3)

$$\lg^2 x — 3 \lg x = 4$$

Шаг 1. Преобразуем в квадратное уравнение:

$$\lg^2 x — 3 \lg x — 4 = 0$$

Пусть:

$$y = \lg x \Rightarrow y^2 — 3y — 4 = 0$$

Шаг 2. Решим квадратное уравнение:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$y_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1; \quad y_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 3. Вернёмся к $\lg x$:

• $\lg x = -1 \Rightarrow x = 10^{-1} = 0.1$
• $\lg x = 4 \Rightarrow x = 10^4 = 10000$

Оба значения положительны, область определения выполняется.

Ответ 3:

$$\boxed{x_1 = 0{,}1; \quad x_2 = 10000}$$

4)

$$\log_2^2 x — 5 \log_2 x + 6 = 0$$

Шаг 1. Обозначим:

$$y = \log_2 x \Rightarrow y^2 — 5y + 6 = 0$$

Шаг 2. Решим уравнение:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2; \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Шаг 3. Возвращаемся к $\log_2 x$:

• $\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 2^2 = 4$
• $\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$

Ответ 4:

$$\boxed{x_1 = 4; \quad x_2 = 8}$$