ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 378 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (378—380).

1. log1/2(7-8x) =-2;
2. lg (x2 — 2) = lgx.

1. $\log_{\frac{1}{2}}(7 — 8x) = -2$;
   $\log_{\frac{1}{2}}(7 — 8x) = \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-2};$
   $7 — 8x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2};$
   $7 — 8x = 2^2;$
   $7 — 8x = 4;$
   $8x = 3, \text{ отсюда } x = \frac{3}{8};$
   Выражение имеет смысл при:
   $7 — 8x > 0;$
   $8x < 7, \text{ отсюда } x < \frac{7}{8};$
   Ответ: $x = \frac{3}{8}$.
2. $\lg(x^2 — 2) = \lg x$;
   $x^2 — 2 = x;$
   $x^2 — x — 2 = 0;$
   $D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$
   $x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \text{ и } x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$
   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 2 > 0;$
   $x^2 > 2;$
   $x < -\sqrt{2} \text{ и } x > \sqrt{2};$
   Выражение имеет смысл при:
   $x > 0;$
   Ответ: $x = 2$.

1)

$$\log_{\frac{1}{2}}(7 — 8x) = -2$$

Шаг 1. Понимаем, что нужно решить уравнение:

Формат:

$$\log_b(A) = C \Rightarrow A = b^C$$

Здесь:

• $b = \frac{1}{2}$
• $A = 7 — 8x$
• $C = -2$

Шаг 2. Перепишем правую часть как логарифм:

$$\log_{\frac{1}{2}}(7 — 8x) = \log_{\frac{1}{2}}\left( \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \right)$$

Теперь аргументы логарифмов равны → логарифмы равны.

Шаг 3. Переход к уравнению без логарифма:

$$7 — 8x = \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$$

Возводим дробь в степень:

$$\left(\frac{1}{2}\right)^{-2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = 2^2 = 4$$

Шаг 4. Решаем уравнение:

$$7 — 8x = 4$$

Вычитаем 7:

$$-8x = 4 — 7 = -3$$

Делим обе части на -8:

$$x = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$$

Шаг 5. Проверим область определения логарифма:

Логарифм $\log_{\frac{1}{2}}(7 — 8x)$ имеет смысл только если аргумент положительный:

$$7 — 8x > 0$$

Вычисляем:

$$-8x > -7 \Rightarrow x < \frac{7}{8}$$

Шаг 6. Проверим, подходит ли найденное значение:

Найдено $x = \frac{3}{8}$

Сравним:

$$\frac{3}{8} < \frac{7}{8} \quad \text{— верно}$$

Ответ 1:

$$\boxed{x = \frac{3}{8}}$$

2)

$$\lg(x^2 — 2) = \lg x$$

Шаг 1. Применим свойство логарифмов:

Если $\lg A = \lg B$, то $A = B$, при условии $A > 0$, $B > 0$

Значит, можно перейти к уравнению:

$$x^2 — 2 = x$$

Шаг 2. Приведем уравнение к стандартному виду:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Шаг 3. Решим квадратное уравнение:

Находим дискриминант:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Решения:

$$x_1 = \frac{-(-1) — \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 — 3}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Шаг 4. Проверим область определения:

Функция содержит два логарифма:

• $\lg(x^2 — 2)$
• $\lg x$

Для них обязательно:

1. $x^2 — 2 > 0$
2. $x > 0$

Проверим первое условие:

$$x^2 — 2 > 0 \Rightarrow x^2 > 2 \Rightarrow x < -\sqrt{2} \text{ или } x > \sqrt{2}$$

Проверим второе условие:

$$x > 0$$

Итак, совместная область определения:

$$x > \sqrt{2}$$

Шаг 5. Подставим найденные корни:

• $x = -1$:
  — не удовлетворяет $x > 0$, не входит в область определения → отбрасываем
• $x = 2$:
  — $2 > \sqrt{2} \approx 1{,}41$ → подходит

Ответ 2:

$$\boxed{x = 2}$$