ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 377 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. у = log7 (5 — 2х);
2. у = log2(x2 — 2x).

Найти область определения функции:

1. $y = \log_{7}(5 — 2x)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $5 — 2x > 0;$
   $-2x > -5;$
   $2x < 5, \text{ отсюда } x < 2{,}5;$
   Ответ: $x < 2{,}5$.
2. $y = \log_{2}(x^2 — 2x)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 2x > 0;$
   $x(x — 2) > 0;$
   $x < 0 \text{ и } x > 2;$
   Ответ: $x < 0; \, x > 2$.

1) $y = \log_{7}(5 — 2x)$

Функция содержит логарифм:
Область определения логарифмической функции $y = \log_b(a)$, где $b > 0$, $b \ne 1$, определяется условием:

Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$$a > 0$$

В нашем случае:

• Основание логарифма: $b = 7$ — оно положительно и не равно 1 (всё в порядке).
• Аргумент логарифма: $a = 5 — 2x$

Шаг 1. Записываем условие существования логарифма:

$$5 — 2x > 0$$

Шаг 2. Решим это неравенство:

$$5 — 2x > 0$$

Вычтем 5 из обеих частей:

$$-2x > -5$$

Теперь делим обе части неравенства на -2.
Важно: при делении или умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$$x < \frac{5}{2}$$ $$x < 2{,}5$$

Ответ 1:

$$\boxed{x < 2{,}5}$$

2) $y = \log_{2}(x^2 — 2x)$

Опять у нас логарифмическая функция. Требование такое же:

Аргумент логарифма должен быть больше нуля:

$$x^2 — 2x > 0$$

Шаг 1. Решаем неравенство:

$$x^2 — 2x > 0$$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$$x(x — 2) > 0$$

Теперь решаем неравенство вида произведения двух множителей > 0.

Произведение двух чисел положительно, когда:

• оба множителя положительны:

  $$\begin{cases} x > 0 \\ x — 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2$$

• оба множителя отрицательны:

  $$\begin{cases} x < 0 \\ x — 2 < 0 \Rightarrow x < 2 \end{cases} \Rightarrow x < 0$$

Шаг 2. Объединяем два допустимых промежутка:

• $x < 0$
• $x > 2$

Это объединение двух промежутков, то есть:

$$x \in (-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$$

Ответ 2:

$$\boxed{x < 0; \quad x > 2}$$