ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 375 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1. y=log0,2(x);
2. y=log корень 5(x);
3. y=log1/e(x);
4. y=log корень 3/2(x).

Выяснить, является функция возрастающей или убывающей:

1. $y = \log_{0.2} x$;
   $0.2 < 1$, следовательно функция $y = \log_{0.2} x$ убывает;
2. $y = \log_{\sqrt{5}} x$;
   $5 > 1 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{5} > 1$;
   $\sqrt{5} > 1$, следовательно функция $y = \log_{\sqrt{5}} x$ возрастает;
3. $y = \log_{\frac{1}{e}} x$;
   $e \approx 2.7 \quad \Rightarrow \quad e > 1 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{e} < 1$;
   $\frac{1}{e} < 1$, следовательно функция $y = \log_{\frac{1}{e}} x$ убывает;
4. $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$;
   $3 < 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} < 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$;
   $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, следовательно функция $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$ убывает

Задание:
Определить, является ли функция возрастающей или убывающей.

Общая теория

Функция $y = \log_a x$:

• Возрастает, если $a > 1$
• Убывает, если $0 < a < 1$

Это свойство связано с тем, как логарифмическая функция изменяется при разных основаниях:

• Если основание больше 1, логарифм становится больше при увеличении $x$ → возрастающая.
• Если основание меньше 1, логарифм становится меньше при увеличении $x$ → убывающая.

Важно: основание логарифма $a$ должно быть:

• строго больше 0
• и не равно 1

Решения по пунктам:

1) $y = \log_{0.2} x$

Шаг 1: Определить основание

$$a = 0.2$$

Шаг 2: Сравнить с 1

$$0.2 < 1$$

Шаг 3: Проверка условий

• $0 < 0.2 < 1$
• Соответствует убывающей логарифмической функции

Вывод:

Функция $y = \log_{0.2} x$ убывает

2) $y = \log_{\sqrt{5}} x$

Шаг 1: Определить основание

$$a = \sqrt{5}$$

Число 5 — больше 1, и $\sqrt{5} = \sqrt{25/5} = 2.236…$

Шаг 2: Сравнение

$$\sqrt{5} > 1$$

Шаг 3: Проверка условий

• $\sqrt{5} > 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция возрастает

Вывод:

Функция $y = \log_{\sqrt{5}} x$ возрастает

3) $y = \log_{\frac{1}{e}} x$

Шаг 1: Напоминаем значение $e$

$$e \approx 2.718 \Rightarrow \frac{1}{e} \approx 0.3679$$

Шаг 2: Сравнение с 1

$$\frac{1}{e} < 1$$

Шаг 3: Проверка условий

• $0 < \frac{1}{e} < 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция убывает

Вывод:

Функция $y = \log_{\frac{1}{e}} x$ убывает

4) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Шаг 1: Разберём основание

$$\text{Число: } \frac{\sqrt{3}}{2}$$

• $\sqrt{3} \approx 1.732$
• $\frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1.732}{2} \approx 0.866$

Шаг 2: Сравнение с 1

$$0.866 < 1$$

Шаг 3: Проверка условий

• $0 < \frac{\sqrt{3}}{2} < 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция убывает

Вывод:

Функция $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$ убывает

Итоговая таблица: