ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 367 Алимов — Подробные Ответы

4x ((корень (16^(1-x) — 1) +2 < 4|4x-1|

Решить неравенство:
$4^x \left( \sqrt{16^{1-x} — 1} + 2 \right) < 4|4^x — 1|;$

Число под знаком модуля:

$4^x — 1 \geq 0;$
$4^x \geq 1;$
$4^x \geq 4^0, \text{отсюда } x \geq 0;$

Если $x \geq 0$, тогда:

$4^x \left( \sqrt{16^{1-x} — 1} + 2 \right) < 4(4^x — 1);$
$4^x \sqrt{\frac{16}{16^x} — 1 + 2 \cdot 4^x} < 4 \cdot 4^x — 4;$
$4^x \sqrt{\frac{16}{4^{2x}} — 1} < 4 \cdot 4^x — 4;$
$4^{2x} \left( \frac{16}{4^{2x}} — 1 \right) < 4 \cdot 4^{2x} — 16 \cdot 4^x + 16;$
$16 — 4^{2x} < 4 \cdot 4^{2x} — 16 \cdot 4^x + 16;$
$5 \cdot 4^{2x} — 16 \cdot 4^x > 0;$
$4^x (5 \cdot 4^x — 16) > 0;$
$5 \cdot 4^x — 16 > 0;$
$5 \cdot 4^x > 16;$
$4^x > \frac{16}{5};$
$4^{x-2} > \frac{1}{5};$
$\log_4 4^{x-2} > \log_4 \left( \frac{1}{5} \right);$
$x — 2 > \log_4 \frac{1}{5};$
$x > 2 — \log_4 5;$

Если $x < 0$, тогда:

$4^x \left( \sqrt{16^{1-x} — 1} + 2 \right) < -4(4^x — 1);$
$4^x \sqrt{\frac{16}{16^x} — 1 + 2 \cdot 4^x} < 4 — 4 \cdot 4^x;$
$4^x \sqrt{\frac{16}{4^{2x}} — 1} < 4 — 6 \cdot 4^x;$
$4^{2x} \left( \frac{16}{4^{2x}} — 1 \right) < 16 — 48 \cdot 4^{2x} + 36 \cdot 4^{2x};$
$16 — 4^{2x} < 16 — 48 \cdot 4^x + 36 \cdot 4^{2x};$
$37 \cdot 4^{2x} — 48 \cdot 4^x > 0;$
$4^x (37 \cdot 4^x — 48) > 0;$
$37 \cdot 4^x — 48 > 0;$
$37 \cdot 4^x > 48;$
$4^x > \frac{48}{37};$
$\frac{48}{37} > 1, \text{значит } x > 0 \text{ — нет корней; }$

Выражение имеет смысл при:

$16^{1-x} — 1 \geq 0;$
$16^{1-x} \geq 1;$
$16^{1-x} \geq 16^0;$
$1 — x \geq 0, \text{отсюда } x \leq 1;$

Ответ: $2 — \log_4 5 < x \leq 1.$

$$\boxed{2 — \log_4 5 < x \leq 1}$$

Задача:

Решить неравенство:

$$4^x \left( \sqrt{16^{1 — x} — 1} + 2 \right) < 4|4^x — 1|$$

Шаг 1: Область допустимых значений (ОДЗ)

Под корнем выражение должно быть неотрицательно:

$$16^{1 — x} — 1 \geq 0 \Rightarrow 16^{1 — x} \geq 1 \Rightarrow 16^{1 — x} \geq 16^0 \Rightarrow 1 — x \geq 0 \Rightarrow x \leq 1$$

ОДЗ: $x \leq 1$

Шаг 2: Раскрываем модуль

Выражение с модулем: $|4^x — 1|$

Разделим задачу на два случая:

Случай 1: $4^x — 1 \geq 0$

$$4^x \geq 1 \Rightarrow x \geq 0 \quad \text{(так как } 4^x = 4^0 = 1 \text{ при } x = 0\text{)}$$

Подставим в неравенство без модуля:

$$4^x \left( \sqrt{16^{1 — x} — 1} + 2 \right) < 4(4^x — 1)$$

Шаг 3: Преобразуем левую часть

Заменим $16^{1 — x}$ на $\frac{16}{16^x}$, так как $16^{1 — x} = 16 \cdot 16^{-x} = \frac{16}{16^x}$

$$4^x \left( \sqrt{ \frac{16}{16^x} — 1 } + 2 \right) < 4(4^x — 1)$$

Шаг 4: Выразим через степени 4

Так как $16 = 4^2 \Rightarrow 16^x = (4^2)^x = 4^{2x}$

Значит:

$$\frac{16}{16^x} = \frac{16}{4^{2x}}$$

Теперь левая часть:

$$4^x \left( \sqrt{ \frac{16}{4^{2x}} — 1 } + 2 \right)$$

Правая часть:

$$4(4^x — 1)$$

Шаг 5: Обозначим $a = 4^x$, $a > 0$

И $4^{2x} = a^2$, тогда:

$$a \left( \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 2 \right) < 4(a — 1)$$

Раскроем скобки:

$$a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 2a < 4a — 4$$

Перенесем всё в одну часть:

$$a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 2a — 4a + 4 < 0 \Rightarrow a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } — 2a + 4 < 0$$

Шаг 6: Переносим всё кроме корня направо

$$a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } < 2a — 4$$

Поделим обе части на $a > 0$:

$$\sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } < 2 — \frac{4}{a}$$

Теперь квадрат обеих частей (при соблюдении неотрицательности):

Левая часть:

$$\left( \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } \right)^2 = \frac{16}{a^2} — 1$$

Правая часть:

$$(2 — \frac{4}{a})^2 = 4 — \frac{16}{a} + \frac{16}{a^2}$$

Сравним:

$$\frac{16}{a^2} — 1 < 4 — \frac{16}{a} + \frac{16}{a^2}$$

Вычтем $\frac{16}{a^2}$ из обеих частей:

$$-1 < 4 — \frac{16}{a} \Rightarrow \frac{16}{a} < 5 \Rightarrow a > \frac{16}{5}$$

Напомним: $a = 4^x$

Значит:

$$4^x > \frac{16}{5} \Rightarrow 4^{x-2} > \frac{1}{5} \Rightarrow x — 2 > \log_4 \left( \frac{1}{5} \right) \Rightarrow x > 2 — \log_4 5$$

Учитываем, что по условию этого случая $x \geq 0$

Случай 2: $4^x — 1 < 0 \Rightarrow x < 0$

Модуль раскрывается с минусом:

$$4^x \left( \sqrt{16^{1 — x} — 1} + 2 \right) < -4(4^x — 1) \Rightarrow 4^x \left( \sqrt{ \frac{16}{4^{2x}} — 1 } + 2 \right) < 4 — 4 \cdot 4^x$$

Шаг 7: Обозначим снова $a = 4^x$, тогда $a < 1$

Левая часть:

$$a \left( \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 2 \right)$$

Правая:

$$4 — 4a$$

Упростим:

$$a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 2a < 4 — 4a$$

Переносим в одну часть:

$$a \cdot \sqrt{ \frac{16}{a^2} — 1 } + 6a — 4 < 0$$

Отсюда видно, что:

• $a < 1 \Rightarrow 4^x < 1 \Rightarrow x < 0$
• $a > 0$
• Но если подставить, например, $a = 0.5$, то:

  $$\sqrt{ \frac{16}{0.25} — 1 } = \sqrt{64 — 1} = \sqrt{63} \approx 7.9$$ $$0.5 \cdot 7.9 + 6 \cdot 0.5 — 4 = 3.95 + 3 — 4 = 2.95 > 0$$

То есть при $x < 0$, неравенство не выполняется.

Аналогично можно доказать, что при $x < 0$ оно не выполняется вообще (правая часть слишком мала, а левая положительна).

Шаг 8: Итоговое решение

• Неравенство выполняется только при $x \geq 0$ и $x > 2 — \log_4 5$
• Также из ОДЗ: $x \leq 1$

Ответ:

$$\boxed{2 — \log_4 5 < x \leq 1}$$