ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 359 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (359—367).

1. log5(3x-2)/(x2+1) > 0;
2. log1/2 (2×2+3)/(x-7) < 0;
3. lg (3х — 4) < lg (2х + 1);
4. log1/2(2х + 3) > log1/2(х +1).

${\mathrm{1.\; log}}_5\frac{3x-2}{x^2+1}>0$;
${\log }_5\frac{3x-2}{x^2+1}>{\log }_{5}1$;
$\frac{3x-2}{x^2+1}>1$;
$3x-2>x^2+1$;
$x^2-3x+3<0$;
$D=3^2-4\cdot 3=9-12=-3<0$;
$a=1>0$, значит корней нет:
Ответ: нет решений.

${\mathrm{2.\; log}}_{\frac{1}{2}}\frac{2x^2+3}{x-7}<0$;
${\log }_{\frac{1}{2}}\frac{2x^2+3}{x-7}<{\log }_{\frac{1}{2}}1$;
$\frac{2x^2+3}{x-7}>1$;
$2x^2+3>x-7$;
$2x^2-x+10>0$;
$D=1^2-4\cdot 2\cdot 10=1-80=-79<0$;
$a=2>0$, значит $x$ — любое число;
Выражение имеет смысл при:
$\frac{2x^2+3}{x-7}>0$;
$x-7>0$, отсюда $x>7$;

Ответ: $x>7$.

$\mathrm{3.\; lg}(3x-4)<\lg (2x+1)$;
$3x-4<2x+1$;
$x<5$;
Выражение имеет смысл при:
$3x-4>0$, отсюда $x>\frac{4}{3}$;
$2x+1>0$, отсюда $x>-\frac{1}{2}$;

Ответ: $\frac{4}{3}<x<5$.

${\mathrm{4.\; log}}_{\frac{1}{2}}(2x+3)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)$;
$2x+3<x+1$;
$x<-2$;
Выражение имеет смысл при:
$2x+3>0$, отсюда $x>-\frac{3}{2}$;
$x+1>0$, отсюда $x>-1$;

Ответ: нет решений.

1) ${\log }_5\left(\frac{3x-2}{x^2+1}\right)>0$

Шаг 1. Условие существования логарифма

Функция логарифма ${\log }_{5}A$ определена только при $A>0$.
Значит:

$$\frac{3x-2}{x^2+1}>0$$

Заметим, что знаменатель $x^2+1>0$ при любом $x$, так как квадрат неотрицателен, и прибавляется 1.
Значит достаточно, чтобы числитель был положителен:

$$3x-2>0\Rightarrow x>\frac{2}{3}$$

Шаг 2. Неравенство логарифма

Имеем:

$${\log }_5\left(\frac{3x-2}{x^2+1}\right)>0$$

Так как основание $5>1$, то логарифм монотонно возрастает ⇒

$${\log }_5\left(\frac{3x-2}{x^2+1}\right)>{\log }_{5}1\Rightarrow \frac{3x-2}{x^2+1}>1$$

Шаг 3. Решим рациональное неравенство

$$\frac{3x-2}{x^2+1}>1$$

Переносим 1:

$$\frac{3x-2-(x^2+1)}{x^2+1}>0\Rightarrow \frac{-x^2+3x-3}{x^2+1}>0$$

Знаменатель положителен ⇒ решаем:

$$-x^2+3x-3>0\Rightarrow x^2-3x+3<0$$

Шаг 4. Анализируем квадратное неравенство

$$x^2-3x+3<0$$

Найдём дискриминант:

$$D=(-3{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=9-12=-3$$

Так как $D<0$, то корней нет, а ветви параболы вверх ($a=1>0$) ⇒
Выражение всегда положительно, а не меньше нуля, то есть не выполняется.

Вывод:

Нет решений неравенства.

Ответ 1: $\boxed{{\displaystyle \text{нет решений}}}$

2) ${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2x^2+3}{x-7}\right)<0$

Шаг 1. Условие существования

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$\frac{2x^2+3}{x-7}>0\text{(запомним это для финала)}$$

Шаг 2. Работа с логарифмом

Основание $\frac{1}{2}<1$, логарифм убывает ⇒ знак неравенства меняется при переходе к аргументам:

$${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\frac{2x^2+3}{x-7}\right)<{\log }_{\frac{1}{2}}1\Rightarrow \frac{2x^2+3}{x-7}>1$$

Шаг 3. Решим неравенство

$$\frac{2x^2+3}{x-7}>1\Rightarrow \frac{2x^2+3-(x-7)}{x-7}>0\Rightarrow \frac{2x^2-x+10}{x-7}>0$$

Теперь:

• Числитель: $2x^2-x+10$
• Дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 2\cdot 10=1-80=-79$$

Нет корней, $a=2>0$ ⇒ числитель всегда положителен

Значит знак выражения определяется только по знаку $x-7$:

$$\frac{(+)}{x-7}>0\Rightarrow x-7>0\Rightarrow x>7$$

Шаг 4. Проверка области допустимых значений

Ранее:

$$\frac{2x^2+3}{x-7}>0$$

Это выполняется при:

• Числитель всегда > 0
• Значит знаменатель тоже должен быть $>0$: $x-7>0\Rightarrow x>7$

Ответ 2: $\boxed{{\displaystyle x>7}}$

3) $\lg (3x-4)<\lg (2x+1)$

Шаг 1. Область определения

• $3x-4>0\Rightarrow x>\frac{4}{3}$
• $2x+1>0\Rightarrow x>-\frac{1}{2}$

Общий OДЗ: $x>\frac{4}{3}$

Шаг 2. Работа с логарифмами

Основание десятичное ($10>1$), логарифм возрастает ⇒ можно сравнивать аргументы:

$$3x-4<2x+1\Rightarrow x<5$$

Шаг 3. Пересечение с областью допустимых значений

ODZ: $x>\frac{4}{3}$
Условие: $x<5$
⟹ Область решений:

$$\frac{4}{3}<x<5$$

Ответ 3: $\boxed{{\displaystyle \frac{4}{3}<x<5}}$

4) ${\log }_{\frac{1}{2}}(2x+3)>{\log }_{\frac{1}{2}}(x+1)$

Шаг 1. Условие существования

• $2x+3>0\Rightarrow x>-\frac{3}{2}$
• $x+1>0\Rightarrow x>-1$

ODЗ: $x>-1$

Шаг 2. Работа с логарифмом

Основание $\frac{1}{2}<1$, логарифм убывает ⇒ при сравнении аргументов меняем знак:

$$2x+3<x+1\Rightarrow x<-2$$

Шаг 3. Пересечение с областью допустимых значений

ODЗ: $x>-1$
Условие: $x<-2$

⟹ Пересечение пусто.

Ответ 4: $\boxed{{\displaystyle \text{нет решений}}}$

Итоговые ответы:

1. Нет решений
2. $x>7$
3. $\frac{4}{3}<x<5$
4. Нет решений