Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.
Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.
Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.
Преимущества учебника
- Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения. - Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач. - Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам. - Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры. - Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.
Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.
ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 357 Алимов — Подробные Ответы
- log15 (x — 3) + log15 (x — 5) < 1;
- log1/3(x — 2) + log1/3(12 — x) > = -2.
1. log₁₅(x — 3) + log₁₅(x — 5) < 1
log₁₅((x — 3)(x — 5)) < log₁₅ 15
(x — 3)(x — 5) < 15
x² — 5x — 3x + 15 < 15
x² — 8x < 0
x(x — 8) < 0
0 < x < 8
Выражение имеет смысл при:
x — 3 > 0, отсюда x > 3
x — 5 > 0, отсюда x > 5
Ответ: 5 < x < 8
2. log₁⁄₃(x — 2) + log₁⁄₃(12 — x) ≥ -2
log₁⁄₃((x — 2)(12 — x)) ≥ log₁⁄₃((1/3)⁻²)
(x — 2)(12 — x) ≤ (1/3)⁻²
12x — x² — 24 + 2x ≤ 3²
-x² + 14x — 24 ≤ 9
x² — 14x + 33 ≥ 0
D = 14² — 4 · 33 = 196 — 132 = 64, тогда:
x₁ = (14 — 8)/2 = 3 и x₂ = (14 + 8)/2 = 11
(x — 3)(x — 11) ≥ 0
x ≤ 3 и x ≥ 11
Выражение имеет смысл при:
x — 2 > 0, отсюда x > 2
12 — x > 0, отсюда x < 12
Ответ: 2 < x ≤ 3; 11 ≤ x < 12
1)
Неравенство:
log₁₅(x − 3) + log₁₅(x − 5) < 1
Шаг 1. Применим свойство логарифмов:
Сумма логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму произведения аргументов:
log₁₅(x − 3) + log₁₅(x − 5) = log₁₅[(x − 3)(x − 5)]
Заменим в неравенстве:
log₁₅[(x − 3)(x − 5)] < 1
Шаг 2. Представим число 1 как логарифм по основанию 15:
Поскольку log₁₅(15) = 1 (так как 15¹ = 15), перепишем:
log₁₅[(x − 3)(x − 5)] < log₁₅(15)
Шаг 3. Так как основание логарифма больше 1 (15 > 1), функция log₁₅(x) — возрастает.
Это означает, что знак неравенства между логарифмами сохраняется при переходе к аргументам:
(x − 3)(x − 5) < 15
Шаг 4. Раскроем скобки:
(x − 3)(x − 5) = x² − 5x − 3x + 15 = x² − 8x + 15
Теперь подставим это в неравенство:
x² − 8x + 15 < 15
Шаг 5. Упростим:
x² − 8x + 15 − 15 < 0
x² − 8x < 0
Шаг 6. Решим квадратное неравенство x² − 8x < 0:
Разложим на множители:
x(x − 8) < 0
Это произведение двух множителей. Чтобы произведение было отрицательным, один множитель должен быть положительным, а другой отрицательным.
Анализ по интервалам:
- Если x < 0 → оба множителя < 0 → произведение > 0
- Если 0 < x < 8 → x > 0, x − 8 < 0 → произведение < 0
- Если x > 8 → оба множителя > 0 → произведение > 0
Значит, решение неравенства:
0 < x < 8
Шаг 7. Учитываем область допустимых значений (ОДЗ):
Оба логарифма должны быть определены, значит их аргументы должны быть положительными:
- x − 3 > 0 ⇒ x > 3
- x − 5 > 0 ⇒ x > 5
Наиболее строгое условие из них — x > 5
ОДЗ: x > 5
Шаг 8. Пересекаем ОДЗ и решение неравенства:
- Неравенство: 0 < x < 8
- ОДЗ: x > 5
Пересечение: 5 < x < 8
Ответ:
5 < x < 8
2)
Неравенство:
log₁⁄₃(x − 2) + log₁⁄₃(12 − x) ≥ −2
Шаг 1. Применим свойство логарифмов:
log₁⁄₃(x − 2) + log₁⁄₃(12 − x) = log₁⁄₃[(x − 2)(12 − x)]
Подставим:
log₁⁄₃[(x − 2)(12 − x)] ≥ −2
Шаг 2. Преобразуем правую часть:
−2 = log₁⁄₃((1/3)⁻²), потому что:
(1/3)⁻² = 3² = 9
И log₁⁄₃(9) = −2, так как (1/3)⁻² = 9
Значит:
log₁⁄₃[(x − 2)(12 − x)] ≥ log₁⁄₃((1/3)⁻²)
Шаг 3. Основание логарифма < 1 (1/3 < 1), значит функция убывает.
Когда логарифмическая функция убывает, знак неравенства между логарифмами меняется на противоположный при переходе к аргументам:
(x − 2)(12 − x) ≤ (1/3)⁻² = 9
Шаг 4. Раскроем скобки:
(x − 2)(12 − x) = 12x − x² − 24 + 2x = −x² + 14x − 24
Неравенство:
−x² + 14x − 24 ≤ 9
Шаг 5. Переносим все влево:
−x² + 14x − 24 − 9 ≤ 0
−x² + 14x − 33 ≤ 0
Умножим обе части на −1 (не забыв изменить знак неравенства):
x² − 14x + 33 ≥ 0
Шаг 6. Найдём корни квадратного трёхчлена:
D = (−14)² − 4·1·33 = 196 − 132 = 64
x₁ = (14 − √64)/2 = (14 − 8)/2 = 3
x₂ = (14 + √64)/2 = (14 + 8)/2 = 11
Шаг 7. Решаем неравенство x² − 14x + 33 ≥ 0:
Это квадратное выражение, ветви параболы направлены вверх (коэффициент при x² положителен).
Значения выражения ≥ 0 при x ≤ 3 или x ≥ 11
Шаг 8. Область допустимых значений (ОДЗ):
Аргументы логарифмов должны быть положительными:
- x − 2 > 0 ⇒ x > 2
- 12 − x > 0 ⇒ x < 12
ОДЗ: 2 < x < 12
Шаг 9. Пересекаем ОДЗ и промежутки из решения:
- Решение: x ≤ 3 и x ≥ 11
- ОДЗ: 2 < x < 12
Пересечение:
- x ≤ 3 ∩ (2 < x < 12) ⇒ 2 < x ≤ 3
- x ≥ 11 ∩ (2 < x < 12) ⇒ 11 ≤ x < 12
Ответ:
2 < x ≤ 3
11 ≤ x < 12
Итоговые ответы:
- 5 < x < 8
- 2 < x ≤ 3; 11 ≤ x < 12
Алгебра
