ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 354 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. у = lg (3х — 2);
2. y= log2 (7 — 5х);
3. у = log1/2(х2 — 2);
4. у = log7 (4 — х2).

1. $y = \lg(3x — 2)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $3x — 2 > 0$;
   $3x > 2$, отсюда $x > \frac{2}{3}$;
   Ответ: $x > \frac{2}{3}$.
2. $y = \log_{2}(7 — 5x)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $7 — 5x > 0$;
   $5x < 7$, отсюда $x < 1,4$;
   Ответ: $x < 1,4$.
3. $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 2)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x^2 — 2 > 0$;
   $x^2 > 2$;
   $x < -\sqrt{2}$ и $x > \sqrt{2}$;
   Ответ: $x < -\sqrt{2}$; $x > \sqrt{2}$.
4. $y = \log_{7}(4 — x^2)$;
   Выражение имеет смысл при:
   $4 — x^2 > 0$;
   $x^2 — 4 < 0$;
   $(x + 2)(x — 2) < 0$;
   $-2 < x < 2$;
   Ответ: $-2 < x < 2$.

1) $y = \lg(3x — 2)$

Шаг 1: Понимание ограничения

Функция логарифма $\lg(a)$ определена только тогда, когда подлогарифмическое выражение больше нуля, то есть:

$$3x — 2 > 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

Чтобы найти, при каких значениях $x$ это верно, решим неравенство:

$$3x — 2 > 0$$

Добавим 2 к обеим частям:

$$3x > 2$$

Теперь поделим обе части на 3:

$$x > \frac{2}{3}$$

Ответ:

$$x > \frac{2}{3}$$

2) $y = \log_{2}(7 — 5x)$

Шаг 1: Область определения логарифма

Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным:

$$7 — 5x > 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

Вычислим:

$$7 — 5x > 0$$

Вычтем 7 из обеих частей:

$$-5x > -7$$

Теперь делим обе части на -5. Внимание: при делении на отрицательное число знак неравенства меняется!

$$x < \frac{7}{5}$$ $$x < 1.4$$

Ответ:

$$x < 1.4$$

3) $y = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 — 2)$

Шаг 1: Требование к подлогарифмическому выражению

Для логарифма с любым основанием, подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:

$$x^2 — 2 > 0$$

Шаг 2: Решим неравенство

$$x^2 > 2$$

Решим это квадратное неравенство. Заметим, что $x^2 = 2$ имеет два корня:

$$x = \pm \sqrt{2}$$

Так как нам нужно $x^2 > 2$, это возможно в двух случаях:

• когда $x < -\sqrt{2}$
• когда $x > \sqrt{2}$

Ответ:

$$x < -\sqrt{2}; \quad x > \sqrt{2}$$

4) $y = \log_{7}(4 — x^2)$

Шаг 1: Подлогарифмическое выражение

Подлогарифмическое выражение должно быть строго больше нуля:

$$4 — x^2 > 0$$

Шаг 2: Перепишем неравенство

$$4 — x^2 > 0 \quad \Rightarrow \quad -x^2 + 4 > 0$$

Умножим обе части на -1 (не забывая поменять знак неравенства):

$$x^2 — 4 < 0$$

Шаг 3: Разложим на множители

$$x^2 — 4 = (x — 2)(x + 2)$$

Подставим:

$$(x — 2)(x + 2) < 0$$

Шаг 4: Решим методом интервалов

Нули выражения: $x = -2$ и $x = 2$

Рассмотрим интервалы:

• $x < -2$: оба множителя отрицательные → произведение положительно
• $-2 < x < 2$: множители разных знаков → произведение отрицательно
• $x > 2$: оба множителя положительные → произведение положительно

Нам нужно:

$$(x — 2)(x + 2) < 0 \Rightarrow -2 < x < 2$$

Ответ:

$$-2 < x < 2$$