ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 349 Алимов — Подробные Ответы

1. logx2(9) + log корень x (4) = 2;
2. logx2(16) — log корень x(7) = 2.

$\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$;

$\frac{1}{2} \log_x 9 + \log_{x^2} 4 = 2$;

$\log_x 9^{\frac{1}{2}} + 2 \log_x 4 = 2$;

$\log_x \sqrt{9} + \log_x 4^2 = 2$;

$\log_x 3 + \log_x 16 = 2$;

$\log_x (3 \cdot 16) = 2$;

$\log_x 48 = \log_x x^2$;

$x^2 = 48$;

$x = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x = 4\sqrt{3}$.

$\log_{x^2} 16 — \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$;

$\frac{1}{2} \log_x 16 — \log_{x^2} 7 = 2$;

$\log_x 16^{\frac{1}{2}} — 2 \log_x 7 = 2$;

$\log_x \sqrt{16} — \log_x 7^2 = 2$;

$\log_x 4 — \log_x 49 = 2$;

$\log_x \frac{4}{49} = \log_x x^2$;

$x^2 = \frac{4}{49}$;

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}$;

Выражение имеет смысл при:

$x > 0$ и $x \neq 1$;

Ответ: $x = \frac{2}{7}$.

1) Решить уравнение:

$$\log_{x^2} 9 + \log_{\sqrt{x}} 4 = 2$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы к одному основанию

Логарифм по основанию $x^2$:

$$\log_{x^2} 9 = \frac{\log_x 9}{\log_x x^2}$$

Поскольку:

$$\log_x x^2 = 2, \quad \text{то:} \quad \log_{x^2} 9 = \frac{\log_x 9}{2}$$

Логарифм по основанию $\sqrt{x}$:

$$\log_{\sqrt{x}} 4 = \frac{\log_x 4}{\log_x \sqrt{x}} = \frac{\log_x 4}{\frac{1}{2}} = 2 \log_x 4$$

Шаг 2: Подставим преобразованные выражения

$$\frac{1}{2} \log_x 9 + 2 \log_x 4 = 2$$

Шаг 3: Используем свойства логарифмов

$$\log_x 9^{1/2} = \log_x \sqrt{9} = \log_x 3$$ $$2 \log_x 4 = \log_x 4^2 = \log_x 16$$

Теперь уравнение:

$$\log_x 3 + \log_x 16 = 2$$

Шаг 4: Применим свойство суммы логарифмов

$$\log_x 3 + \log_x 16 = \log_x (3 \cdot 16) = \log_x 48$$

Уравнение принимает вид:

$$\log_x 48 = 2$$

Шаг 5: Преобразуем в показательную форму

$$\log_x 48 = 2 \Rightarrow x^2 = 48 \Rightarrow x = \pm \sqrt{48} = \pm 4\sqrt{3}$$

Шаг 6: Проверим область допустимых значений (ОДЗ)

Для логарифмов:

• Основание логарифма должно быть положительно и не равно 1
• Аргумент логарифма должен быть положителен

Исходные логарифмы:

• $\log_{x^2} 9$: основание $x^2 > 0$, но $x^2 = 1$ нельзя → $x \neq \pm 1$
• $\log_{\sqrt{x}} 4$: основание $\sqrt{x} > 0 \Rightarrow x > 0$

Таким образом:

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Решения:

• $x = 4\sqrt{3}$
• $x = -4\sqrt{3}$ — не подходит, так как $x < 0$

Ответ:

$$x = 4\sqrt{3}$$

2) Решить уравнение:

$$\log_{x^2} 16 — \log_{\sqrt{x}} 7 = 2$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы к одному основанию

Первый логарифм:

$$\log_{x^2} 16 = \frac{\log_x 16}{\log_x x^2} = \frac{\log_x 16}{2}$$

Второй логарифм:

$$\log_{\sqrt{x}} 7 = \frac{\log_x 7}{\log_x \sqrt{x}} = \frac{\log_x 7}{\frac{1}{2}} = 2 \log_x 7$$

Шаг 2: Подставим в уравнение

$$\frac{1}{2} \log_x 16 — 2 \log_x 7 = 2$$

Шаг 3: Преобразуем логарифмы

$$\frac{1}{2} \log_x 16 = \log_x \sqrt{16} = \log_x 4$$ $$2 \log_x 7 = \log_x 7^2 = \log_x 49$$

Тогда уравнение:

$$\log_x 4 — \log_x 49 = 2$$

Шаг 4: Используем свойство разности логарифмов

$$\log_x \frac{4}{49} = 2$$

Шаг 5: Преобразуем в показательную форму

$$\log_x \frac{4}{49} = 2 \Rightarrow x^2 = \frac{4}{49} \Rightarrow x = \pm \sqrt{\frac{4}{49}} = \pm \frac{2}{7}$$

Шаг 6: Проверка ОДЗ

Аналогично:

• $x > 0$
• $x \neq 1$

Проверим корни:

• $x = \frac{2}{7}$ — подходит
• $x = -\frac{2}{7}$ — не подходит, так как $x < 0$

Ответ:

$$x = \frac{2}{7}$$