ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 347 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений:

1) система

lgx-lgy=7,

lgx+lgy=5;

2) система

log2(x) +1/2log2(1/y)

1)

$$\begin{cases} \lg x — \lg y = 7 \\ \lg x + \lg y = 5 \end{cases}$$ $$\lg x+\lg x-\lg y+\lg y=7+5;$$

$$\lg x + \lg x — \lg y + \lg y = 7 + 5;$$ $$2\lg x=12;$$

$$2 \lg x = 12;$$ $$\lg x=6;$$

$$\lg x = 6;$$ $$\lg x=\lg {10}^6;$$

$$\lg x = \lg 10^6;$$ $$x = 10^6 = 1 \, 000 \, 000;$$

Значение переменной $y$:

$$\lg x+\lg y=5;$$

$$\lg x + \lg y = 5;$$ $$6+\lg y=5;$$

$$6 + \lg y = 5;$$ $$\lg y=-1;$$

$$\lg y = -1;$$ $$\lg y=\lg {10}^{-1};$$

$$\lg y = \lg 10^{-1};$$ $$y = 10^{-1} = 0.1;$$

Ответ: $(1 \, 000 \, 000; 0.1)$.

2)

$$\begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 \frac{1}{y} = 4 \\ xy = 2 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} \log_2 x + \log_2 \left( \frac{1}{y} \right)^{\frac{1}{2}} = 4 \\ y = \frac{2}{x} \end{cases}$$ $${\log }_{2}x+{\log }_2{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=4;$$

$$\log_2 x + \log_2 \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = 4;$$ $$\log_2 \left( x \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{2}} \right) = \log_2 2^4;$$ $$x\cdot {\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{1}{2}}=2^4;$$

$$x \cdot \left( \frac{x}{2} \right)^{\frac{1}{2}} = 2^4;$$ $$x^{1+\frac{1}{2}}=2^{4+\frac{1}{2}};$$

$$x^{1+\frac{1}{2}} = 2^{4+\frac{1}{2}};$$ $$x^{\frac{3}{2}}=2^{\frac{9}{2}};$$

$$x^{\frac{3}{2}} = 2^{\frac{9}{2}};$$ $$x^3=2^9;$$

$$x^3 = 2^9;$$ $$x=2^3=8;$$

$$x = 2^3 = 8;$$ $$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25;$$

Ответ: $(8; 0.25)$.

1)

Решить систему:

$$\begin{cases} \lg x — \lg y = 7 \quad \text{(1)} \\ \lg x + \lg y = 5 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Сложим уравнения (1) и (2):

$$(\lg x — \lg y) + (\lg x + \lg y) = 7 + 5$$ $$\lg x + \lg x — \lg y + \lg y = 12$$ $$2 \lg x = 12$$

Шаг 2. Разделим обе части на 2:

$$\lg x = \frac{12}{2} = 6$$

Шаг 3. Переведем логарифмическое уравнение в показательную форму:

$$\lg x = 6 \Rightarrow x = 10^6 = 1\,000\,000$$

Шаг 4. Найдём $y$, подставив $\lg x = 6$ во второе уравнение:

Уравнение (2):

$$\lg x + \lg y = 5 \Rightarrow 6 + \lg y = 5 \Rightarrow \lg y = 5 — 6 = -1$$

Шаг 5. Переведём логарифмическое уравнение в показательную форму:

$$\lg y = -1 \Rightarrow y = 10^{-1} = 0.1$$

Ответ 1:

$$\boxed{(x, y) = (1\,000\,000; \, 0.1)}$$

2)

Решить систему:

$$\begin{cases} \log_2 x + \frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{1}{y} \right) = 4 \quad \text{(1)} \\ xy = 2 \quad \text{(2)} \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем логарифм во втором слагаемом первого уравнения:

$$\frac{1}{2} \log_2 \left( \frac{1}{y} \right) = \log_2 \left( \left( \frac{1}{y} \right)^{1/2} \right) = \log_2 \left( \frac{1}{\sqrt{y}} \right)$$

Шаг 2. Подставим это в уравнение (1):

$$\log_2 x + \log_2 \left( \frac{1}{\sqrt{y}} \right) = 4$$

По свойству логарифмов:

$$\log_b A + \log_b B = \log_b (A \cdot B)$$

Применим:

$$\log_2 \left( x \cdot \frac{1}{\sqrt{y}} \right) = 4 \Rightarrow \log_2 \left( \frac{x}{\sqrt{y}} \right) = 4$$

Шаг 3. Переходим к показательной форме:

$$\log_2 \left( \frac{x}{\sqrt{y}} \right) = 4 \Rightarrow \frac{x}{\sqrt{y}} = 2^4 = 16$$

Шаг 4. Выразим $y$ из уравнения (2):

$$xy = 2 \Rightarrow y = \frac{2}{x}$$

Шаг 5. Подставим $y = \frac{2}{x}$ в выражение $\frac{x}{\sqrt{y}} = 16$:

$$\frac{x}{\sqrt{2/x}} = 16$$

Упростим подкоренное выражение:

$$\sqrt{\frac{2}{x}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}} \Rightarrow \frac{x}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}} = 16$$

Деление на дробь:

$$= x \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{x \cdot \sqrt{x}}{\sqrt{2}} = \frac{x^{3/2}}{\sqrt{2}}$$

Тогда:

$$\frac{x^{3/2}}{\sqrt{2}} = 16 \Rightarrow x^{3/2} = 16 \cdot \sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{1/2} = 2^{9/2}$$

Шаг 6. Получаем:

$$x^{3/2} = 2^{9/2} \Rightarrow x^3 = 2^9 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$

Шаг 7. Найдём $y$ из уравнения $y = \frac{2}{x}$:

$$y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} = 0.25$$

Ответ 2:

$$\boxed{(x, y) = (8;\, 0.25)}$$