ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 346 Алимов — Подробные Ответы

Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они:

1. 2^(3х + 1) = 2^-3 и Зх + 1 = -3;
2. log3 (х — 1) = 2 и x — 1 = 9.

Не решая уравнений, выяснить равносильны ли они:

1) $2^{3x+1} = 2^{-3}$ и $3x + 1 = -3$;

Преобразуем первое уравнение:

$$2^{3x+1}=2^{-3};$$

$$2^{3x+1} = 2^{-3};$$ $${\log }_2{2}^{3x+1}={\log }_2{2}^{-3};$$

$$\log_2 2^{3x+1} = \log_2 2^{-3};$$ $$3x + 1 = -3;$$

Ответ: равносильны.

2) $\log_3 (x-1) = 2$ и $x — 1 = 9$;

Преобразуем первое уравнение:

$${\log }_3(x-1)=2;$$

$$\log_3 (x-1) = 2;$$ $${\log }_3(x-1)={\log }_3{3}^2;$$

$$\log_3 (x-1) = \log_3 3^2;$$ $$x-1=3^2;$$

$$x — 1 = 3^2;$$ $$x — 1 = 9;$$

Ответ: равносильны.

Задание:
Не решая уравнений, выяснить, равносильны ли они.
Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений, и при этом ни одно из уравнений не вводит дополнительные ограничения или не исключает допустимые значения по сравнению с другим.

1)

Уравнения:

• $2^{3x + 1} = 2^{-3}$
• $3x + 1 = -3$

Анализ 1-го уравнения:

Шаг 1:

Рассмотрим левую и правую части:

• Основание степени — одно и то же число, $2$.
• По свойству однозначности показательной функции:
  Если $a^m = a^n$ и $a > 0, a \ne 1$, то обязательно $m = n$.

Здесь:

• $a = 2$ — подходит, так как $2 > 0$ и $2 \ne 1$.

Применим:

$$2^{3x + 1} = 2^{-3} \Rightarrow 3x + 1 = -3$$

Анализ 2-го уравнения:

Второе уравнение уже дано в виде:

$$3x + 1 = -3$$

Вывод:

• Оба уравнения — одинаковые по смыслу.
• Уравнение $2^{3x + 1} = 2^{-3}$ эквивалентно уравнению $3x + 1 = -3$, если $x$ принадлежит области допустимых значений.

Проверка ОДЗ (области допустимых значений):

• У показательной функции $2^y$ нет ограничений по $y$, так как она определена для всех $y \in \mathbb{R}$, значит для всех $x \in \mathbb{R}$.
• У линейного уравнения также нет ограничений.

Следовательно, обе формулы имеют одинаковое решение, и область определения совпадает.

Ответ: равносильны.

2)

Уравнения:

• $\log_3 (x — 1) = 2$
• $x — 1 = 9$

Анализ 1-го уравнения:

Шаг 1:

Имеем логарифмическое уравнение:

$$\log_3 (x — 1) = 2$$

По определению логарифма:

$$\log_b A = C \quad \Leftrightarrow \quad A = b^C \quad \text{при } A > 0,\ b > 0,\ b \ne 1$$

Здесь:

• $b = 3 > 0, b \ne 1$ — ОК
• $A = x — 1 \Rightarrow$ ОДЗ: $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$

Шаг 2:

Переход к показательной форме:

$$\log_3 (x — 1) = 2 \Rightarrow x — 1 = 3^2 = 9$$

Анализ 2-го уравнения:

Уравнение:

$$x — 1 = 9$$

Сравнение:

Оба уравнения приводят к одному и тому же равенству:

$$x — 1 = 9$$

И в первом уравнении — через преобразование логарифма, во втором — сразу задано.

Проверка ОДЗ:

• У первого уравнения есть ограничение: логарифм определён только при $x — 1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• Решение: $x = 10$, и оно удовлетворяет ОДЗ
• Второе уравнение не имеет ограничений, но его единственное решение — тоже $x = 10$

Вывод:

• Оба уравнения имеют одно и то же решение: $x = 10$
• У логарифмического уравнения есть дополнительное ограничение, но оно не исключает найденное решение
• Значит, решения совпадают, и уравнения равносильны

Ответ: равносильны.