ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 345 Алимов — Подробные Ответы

1. $2^{3\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$
2. $2^{{\log }_3{x}^2}\cdot 5^{{\log }_{3}x}=400$
3. $\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$
4. $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1$

${\mathrm{1.\; 2}}^{3\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$;

$$8^{\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600;$$

$$$$$$(8\cdot 5{)}^{\lg x}=1600;$$

$$$$$${40}^{\lg x}={40}^2;$$

$$$$$$\lg x=2;$$

$$$$$$\lg x=\lg {10}^2;$$

$$$$$$x={10}^2=100;$$

Ответ: $x=100$.

${\mathrm{2.\; 2}}^{{\log }_3{x}^2}\cdot 5^{{\log }_{3}x}=400$;

$$2^{2{\log }_{3}x}\cdot 5^{{\log }_{3}x}=400;$$

$$$$$$4^{{\log }_{3}x}\cdot 5^{{\log }_{3}x}=400;$$

$$$$$$(4\cdot 5{)}^{{\log }_{3}x}=400;$$

$$$$$${20}^{{\log }_{3}x}={20}^2;$$

$$$$$${\log }_{3}x=2;$$

$$$$$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^2;$$

$$$$$$x=3^2=9;$$

Ответ: $x=9$.

3. $\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$;

$$\frac{2-\lg x+2(4+\lg x)}{(4+\lg x)(2-\lg x)}=1;$$

$$$$$$2-\lg x+8+2\lg x=(4+\lg x)(2-\lg x);$$

$$$$$$10+\lg x=8-4\lg x+2\lg x-{\lg }^{2}x;$$

$$$$$${\lg }^{2}x+3\lg x+2=0;$$

Пусть $y=\lg x$, тогда:

$$y^2+3y+2=0;$$

$$$$$$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1,\text{тогда:}$$

$$$$$$y_1=\frac{-3-1}{2}=-2\text{и}{y}_2=\frac{-3+1}{2}=-1;$$

Первое значение:

$$\lg x=-2;$$

$$$$$$\lg x=\lg {10}^{-2};$$

$$$$$$x={10}^{-2}=0.01;$$

Второе значение:

$$\lg x=-1;$$

$$$$$$\lg x=\lg {10}^{-1};$$

$$$$$$x={10}^{-1}=0.1;$$

Ответ: $x_1=0.01;x_2=0.1$.

4. $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1$;

$$\frac{1+\lg x+2(5-\lg x)}{(5-\lg x)(1+\lg x)}=1;$$

$$$$$$1+\lg x+10-2\lg x=(5-\lg x)(1+\lg x);$$

$$$$$$11-\lg x=5+5\lg x-\lg x-{\lg }^{2}x;$$

$$$$$${\lg }^{2}x-5\lg x+6=0;$$

Пусть $y=\lg x$, тогда:

$$y^2-5y+6=0;$$

$$$$$$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,\text{тогда:}$$

$$$$$$y_1=\frac{5-1}{2}=2\text{и}{y}_2=\frac{5+1}{2}=3;$$

Первое значение:

$$\lg x=2;$$

$$$$$$\lg x=\lg {10}^2;$$

$$$$$$x={10}^2=100;$$

Второе значение:

$$\lg x=3;$$

$$$$$$\lg x=\lg {10}^3;$$

$$$$$$x={10}^3=1000;$$

Ответ: $x_1=100;x_2=1000$.

1) $2^{3\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$

Шаг 1. Преобразуем степень:

$$2^{3\lg x}=(2^3{)}^{\lg x}=8^{\lg x}$$

Так как по свойству степеней $a^{b\cdot c}=(a^b{)}^c$

Шаг 2. Подставим в исходное уравнение:

$$8^{\lg x}\cdot 5^{\lg x}=1600$$

Шаг 3. Объединение степеней с одинаковым показателем:

$$(8\cdot 5{)}^{\lg x}=1600$$

Поскольку $a^x\cdot b^x=(a\cdot b{)}^x$

Шаг 4. Перемножим основания:

$${40}^{\lg x}=1600$$

Шаг 5. Представим 1600 как степень 40:

$${40}^2=1600$$

Шаг 6. Сравниваем степени:

$${40}^{\lg x}={40}^2\Rightarrow \lg x=2$$

Шаг 7. Из логарифмического уравнения:

$$\lg x=\lg {10}^2\Rightarrow x={10}^2=100$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x=100}}$

2) $2^{{\log }_3{x}^2}\cdot 5^{{\log }_{3}x}=400$

Шаг 1. Преобразуем ${\log }_3{x}^2=2{\log }_{3}x$, по свойству логарифма степени.

Подставим:

$$2^{2{\log }_{3}x}\cdot 5^{{\log }_{3}x}$$

Шаг 2. Преобразуем:

$$(2^2{)}^{{\log }_{3}x}=4^{{\log }_{3}x}\Rightarrow 4^{{\log }_{3}x}\cdot 5^{{\log }_{3}x}$$

Шаг 3. Объединяем по правилу произведения с одинаковыми показателями:

$$(4\cdot 5{)}^{{\log }_{3}x}={20}^{{\log }_{3}x}$$

Шаг 4. Приравниваем:

$${20}^{{\log }_{3}x}=400$$

Представим 400:

$$400={20}^2\Rightarrow {20}^{{\log }_{3}x}={20}^2\Rightarrow {\log }_{3}x=2$$

Шаг 5. Решим:

$${\log }_{3}x={\log }_3{3}^2\Rightarrow x=3^2=9$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x=9}}$

3) $\frac{1}{4+\lg x}+\frac{2}{2-\lg x}=1$

Шаг 1. Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1\cdot (2-\lg x)+2\cdot (4+\lg x)}{(4+\lg x)(2-\lg x)}=1$$

Шаг 2. Раскроем скобки в числителе:

$$2-\lg x+8+2\lg x=10+\lg x$$

Шаг 3. Раскроем скобки в знаменателе по формуле:

$$(4+\lg x)(2-\lg x)=4\cdot 2+4(-\lg x)+\lg x\cdot 2+\lg x\cdot (-\lg x)=$$

$$=8-4\lg x+2\lg x-{\lg }^{2}x=8-2\lg x-{\lg }^{2}x$$

Подставим:

$$\frac{10+\lg x}{8-2\lg x-{\lg }^{2}x}=1$$

Шаг 4. Приравниваем числитель и знаменатель:

$$10+\lg x=8-2\lg x-{\lg }^{2}x$$

Шаг 5. Переносим всё в одну часть:

$$10+\lg x-8+2\lg x+{\lg }^{2}x=0\Rightarrow {\lg }^{2}x+3\lg x+2=0$$

Шаг 6. Обозначим $y=\lg x$. Получаем:

$$y^2+3y+2=0$$

Шаг 7. Решим квадратное уравнение:

$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 2=9-8=1$$$$y_{1,2}=\frac{-3\pm \sqrt{1}}{2}=\frac{-3\pm 1}{2}\Rightarrow y_1=-2,y_2=-1$$

Шаг 8. Вернемся к $\lg x=y$:

1. $\lg x=-2\Rightarrow x={10}^{-2}=0.01$
2. $\lg x=-1\Rightarrow x={10}^{-1}=0.1$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x_1=0.01;x_2=0.1}}$

4) $\frac{1}{5-\lg x}+\frac{2}{1+\lg x}=1$

Шаг 1. Найдем общий знаменатель:

$$\frac{1(1+\lg x)+2(5-\lg x)}{(5-\lg x)(1+\lg x)}=1$$

Шаг 2. Раскроем числитель:

$$1+\lg x+10-2\lg x=11-\lg x$$

Шаг 3. Раскроем знаменатель по формуле:

$$(5-\lg x)(1+\lg x)=5\cdot 1+5\cdot \lg x-\lg x\cdot 1-{\lg }^{2}x=$$

$$=5+5\lg x-\lg x-{\lg }^{2}x=5+4\lg x-{\lg }^{2}x$$

Но проще: это разность квадратов:

$$(5-\lg x)(1+\lg x)=5(1+\lg x)-\lg x(1+\lg x)=$$

$$=5+5\lg x-\lg x-{\lg }^{2}x=5+4\lg x-{\lg }^{2}x$$

Либо проще:

$$(5-\lg x)(1+\lg x)=5\cdot 1+5\lg x-\lg x-{\lg }^{2}x=5+4\lg x-{\lg }^{2}x$$

Итак:

$$\frac{11-\lg x}{5+4\lg x-{\lg }^{2}x}=1\Rightarrow 11-\lg x=5+4\lg x-{\lg }^{2}x$$

Шаг 4. Переносим всё в одну часть:

$$11-\lg x-5-4\lg x+{\lg }^{2}x=0\Rightarrow {\lg }^{2}x-5\lg x+6=0$$

Шаг 5. Обозначим $y=\lg x$. Получаем:

$$y^2-5y+6=0$$

Шаг 6. Решим уравнение:

$$D=25-4\cdot 6=1\Rightarrow y_1=\frac{5-1}{2}=2,y_2=\frac{5+1}{2}=3$$

Шаг 7. Возвращаемся к $\lg x=y$:

1. $\lg x=2\Rightarrow x={10}^2=100$
2. $\lg x=3\Rightarrow x={10}^3=1000$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle x_1=100;x_2=1000}}$