ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 340 Алимов — Подробные Ответы

1. log3 (5x + 3) = log3 (7x + 5);
2. log1/2 (3x- 1) = log1/2 (6x + 8).

$\log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5)$;

$$5x+3=7x+5;$$

$$5x + 3 = 7x + 5;$$ $$-2x = 2, \text{ отсюда } x = -1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$5x+3>0;$$

$$5x + 3 > 0;$$ $$5x > -3, \text{ отсюда } x > -0.6;$$

Ответ: решений нет.

$\log_{\frac{1}{2}} (3x — 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8)$;

$$3x-1=6x+8;$$

$$3x — 1 = 6x + 8;$$ $$-3x = 9, \text{ отсюда } x = -3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x-1>0;$$

$$3x — 1 > 0;$$ $$3x > 1, \text{ отсюда } x > \frac{1}{3};$$

Ответ: решений нет.

Задача 1

Условие:

$$\log_3 (5x + 3) = \log_3 (7x + 5)$$

Шаг 1: Свойство логарифмов

Функция $\log_a x$ (при $a > 1$) — строго возрастающая, поэтому:

$$\log_3 A = \log_3 B \Rightarrow A = B$$

Тогда:

$$5x + 3 = 7x + 5$$

Шаг 2: Решаем уравнение

Переносим все в одну сторону:

$$5x + 3 = 7x + 5 \Rightarrow 5x — 7x = 5 — 3 \Rightarrow -2x = 2$$ $$x = -1$$

Шаг 3: ОДЗ (область допустимых значений)

Логарифм существует только при положительном аргументе. Значит:

• $5x + 3 > 0$
• $7x + 5 > 0$

Первое неравенство:

$$5x + 3 > 0 \Rightarrow 5x > -3 \Rightarrow x > -\frac{3}{5} = -0.6$$

Второе неравенство:

$$7x + 5 > 0 \Rightarrow 7x > -5 \Rightarrow x > -\frac{5}{7} \approx -0.714$$

Берём пересечение:

$$x > -0.6$$

Шаг 4: Проверка найденного корня

Найдено: $x = -1$

Проверим: входит ли в область допустимых значений?

$$x = -1 \quad \Rightarrow \quad -1 < -0.6 \quad \text{(НЕ входит в ОДЗ)}$$

Подставим в логарифмы:

• $5x + 3 = 5 \cdot (-1) + 3 = -2$ — нельзя брать логарифм отрицательного числа
• $7x + 5 = 7 \cdot (-1) + 5 = -2$ — то же самое

Вывод:

Решение не удовлетворяет ОДЗ, логарифмы не существуют при $x = -1$

Ответ:

$$\boxed{\text{Решений нет}}$$

Задача 2

Условие:

$$\log_{\frac{1}{2}} (3x — 1) = \log_{\frac{1}{2}} (6x + 8)$$

Шаг 1: Свойство логарифмов

Функция $\log_a x$, где основание $a \in (0, 1)$, является строго убывающей.

Поэтому:

$$\log_a A = \log_a B \Rightarrow A = B$$

(это справедливо независимо от того, возрастает функция или убывает, если логарифмы равны, значит, подлогарифмические выражения равны)

Шаг 2: Сравниваем выражения

$$3x — 1 = 6x + 8$$

Шаг 3: Решаем уравнение

Переносим:

$$3x — 6x = 8 + 1 \Rightarrow -3x = 9 \Rightarrow x = -3$$

Шаг 4: ОДЗ (область допустимых значений)

Логарифм определён только при положительном аргументе, значит:

• $3x — 1 > 0$
• $6x + 8 > 0$

Первое неравенство:

$$3x > 1 \Rightarrow x > \frac{1}{3}$$

Второе неравенство:

$$6x > -8 \Rightarrow x > -\frac{4}{3}$$

Берём пересечение:

$$x > \frac{1}{3}$$

Шаг 5: Проверка найденного корня

Найдено: $x = -3$

Проверяем ОДЗ:

$$x = -3 \quad \Rightarrow \quad -3 < \frac{1}{3} \quad \text{(НЕ входит в ОДЗ)}$$

Проверим подстановкой:

• $3x — 1 = -9 — 1 = -10$ — логарифм от отрицательного числа: нельзя
• $6x + 8 = -18 + 8 = -10$ — тоже нельзя

Вывод:

Найденное значение не входит в ОДЗ, подлогарифмические выражения не положительны

Ответ:

$$\boxed{\text{Решений нет}}$$