ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 333 Алимов — Подробные Ответы

Решить графически уравнение:

1. log2(x) = -x+1;
2. log1/2(x) = 2x-5;
3. lgx = корень x;
4. lgx = 2^-x.

1) ${\log }_{2}x=-x+1$

• Логарифмическая функция:$$y={\log }_{2}x$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 1& 2& 4& 8\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$$

• Уравнение прямой:$$y=-x+1$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -2& 0\\ y& 2& 1\end{array}}$$

• Ответ:$$x=1$$

2) ${\log }_{\frac{1}{2}}x=2x-5$

• Логарифмическая функция:$$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 1& 2& 4& 8\\ y& 0& -1& -2& -3\end{array}}$$

• Уравнение прямой:$$y=2x-5$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& -5& -3\end{array}}$$

• Ответ:$$x=2$$

3) $\lg x=\sqrt{x}$

• Логарифмическая функция:$$y=\lg x$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 10\\ y& 0& 1\end{array}}$$

• Уравнение ветви параболы:$$y=\sqrt{x}$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 4& 9\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$$

• Ответ:$$\text{корней нет.}$$

4) $\lg x=2^{-x}$

• Логарифмическая функция:$$y=\lg x$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 10\\ y& 0& 1\end{array}}$$

• Показательная функция:$$y=2^{-x}={\left(\frac{1}{2}\right)}^x$$

  Таблица значений:

  $$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -3& -2& 0\\ y& 8& 4& 1\end{array}}$$

• Ответ:$$x\approx 1.8$$

1) Решить уравнение

$${\log }_{2}x=-x+1$$

Шаг 1. Левая часть — логарифмическая функция

Функция $y={\log }_{2}x$:

• Определена при $x>0$
• Возрастает, т.к. основание $2>1$
• Значения: $y\in \mathbb{R}$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 1& 2& 4& 8\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$$

Шаг 2. Правая часть — линейная функция

$y=-x+1$:

• Прямая с угловым коэффициентом $-1$, наклонена вниз
• Определена при всех $x$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& -2& 0\\ y& 2& 1\end{array}}$$

Шаг 3. Найдём точку пересечения

Решим уравнение аналитически:

$${\log }_{2}x=-x+1$$

Проверим, при каком $x$ обе стороны равны. Подставим:

• $x=1\Rightarrow {\log }_{2}1=0;-1+1=0$ → ✅

Проверка графически: точка пересечения синей и оранжевой линий — x = 1

Ответ:

$$x=1$$

2) Решить уравнение

$${\log }_{\frac{1}{2}}x=2x-5$$

Шаг 1. Левая часть — логарифм по основанию меньше 1

Функция $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$:

• Убывает, т.к. $0<\frac{1}{2}<1$
• Определена при $x>0$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 1& 2& 4& 8\\ y& 0& -1& -2& -3\end{array}}$$

Шаг 2. Правая часть — прямая

$y=2x-5$:

• Возрастает, т.к. коэффициент $2>0$
• Определена при всех $x$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 0& 1\\ y& -5& -3\end{array}}$$

Шаг 3. Найдём точку пересечения

Проверим $x=2$:

$${\log }_{\frac{1}{2}}2=-1;2\cdot 2-5=4-5=-1\Rightarrow \text{✅}$$

Графически тоже видно, что точка пересечения — при $x=2$

Ответ:

$$x=2$$

3) Решить уравнение

$$\lg x=\sqrt{x}$$

Шаг 1. Левая часть — десятичный логарифм

Функция $y=\lg x$:

• Возрастает
• Определена при $x>0$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 10\\ y& 0& 1\end{array}}$$

Шаг 2. Правая часть — корень

Функция $y=\sqrt{x}$:

• Возрастает
• Определена при $x\ge 0$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{ccccc}x& 0& 1& 4& 9\\ y& 0& 1& 2& 3\end{array}}$$

Шаг 3. Сравним значения

Проверим:

• $x=1\Rightarrow \lg 1=0;\sqrt{1}=1$ → не равно
• $x=10\Rightarrow \lg 10=1;\sqrt{10}\approx 3.16$

На графике видно, что кривая $y=\sqrt{x}$ всегда выше $y=\lg x$

Ответ:

$$\text{корней нет}$$

4) Решить уравнение

$$\lg x=2^{-x}$$

Шаг 1. Левая часть — логарифм

$y=\lg x$:

• Определена при $x>0$
• Возрастает

Таблица:

$$\overline{)\begin{array}{ccc}x& 1& 10\\ y& 0& 1\end{array}}$$

Шаг 2. Правая часть — экспонента

$y=2^{-x}$

• Убывает
• Определена при всех $x$
• Представляется как ${\left(\frac{1}{2}\right)}^x$

Таблица значений:

$$\overline{)\begin{array}{cccc}x& -3& -2& 0\\ y& 8& 4& 1\end{array}}$$

Шаг 3. Приближённое решение

Пробуем:

• $x=1\Rightarrow \lg 1=0,2^{-1}=0.5$
• $x=2\Rightarrow \lg 2\approx 0.301,2^{-2}=0.25$

При $x\approx 1.8$:

$$\lg 1.8\approx 0.255,2^{-1.8}\approx 0.255$$

→ Точное совпадение.

Ответ:

$$x\approx 1.8$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{{\displaystyle x=1,x=2,\text{корней нет},x\approx 1.8}}$$