ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 326 Алимов — Подробные Ответы

1. log3(x) < 2;
2. log0,4(x) > 2;
3. log1/2(х) > =16;
4. log0,4(x) < =2.

$\log_{3} x < 2$;
$\log_{3} x < \log_{3} 3^2$;
$x < 3^2$, отсюда $x < 9$;
Ответ: $x < 9$.

$\log_{0.4} x > 2$;
$\log_{0.4} x > \log_{0.4} 0.4^2$;
$x < 0.4^2$, отсюда $x < 0.16$;
Ответ: $0 < x < 0.16$.

$\log_{\frac{1}{2}} x \geq 16$;
$\log_{\frac{1}{2}} x \geq \log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{1}{2} \right)^{16}$;
$x \leq \left( \frac{1}{2} \right)^{16}$, отсюда $x \leq \frac{1}{65536}$;
Ответ: $0 < x \leq \frac{1}{65536}$.

$\log_{0.4} x \leq 2$;
$\log_{0.4} x \leq \log_{0.4} 0.4^2$;
$x \geq 0.4^2$, отсюда $x \geq 0.16$;
Ответ: $x \geq 0.16$.

1) $\log_{3} x < 2$

Решение:

1. Дано: $\log_{3} x < 2$. Это логарифмическое неравенство.
2. Область определения логарифма: $x > 0$.
3. Преобразуем правую часть: $2 = \log_{3} 9$, потому что $3^2 = 9$.
4. Подставим:

   $$\log_{3} x < \log_{3} 9$$

5. Основание логарифма $a = 3$, и оно больше 1. При $a > 1$, функция $\log_{a} x$ возрастает, следовательно:

   $$\log_{3} x < \log_{3} 9 \iff x < 9$$

6. Объединяем с ОДЗ:

   $$x > 0 \text{ и } x < 9 \Rightarrow x < 9$$

   (условие $x > 0$ выполнено автоматически для $x < 9$).

Ответ: $x < 9$

2) $\log_{0.4} x > 2$

Решение:

1. Дано: $\log_{0.4} x > 2$
2. Область определения: $x > 0$
3. Представим 2 как логарифм по основанию $0.4$:

   $$2 = \log_{0.4} (0.4)^2 = \log_{0.4} 0.16$$

4. Подставим:

   $$\log_{0.4} x > \log_{0.4} 0.16$$

5. Основание логарифма: $a = 0.4$, при этом $0 < a < 1$. В этом случае логарифмическая функция убывает, следовательно:

   $$\log_{a} x > \log_{a} y \iff x < y$$

6. Применим правило:

   $$x < 0.16$$

7. С учётом области определения: $x > 0 \Rightarrow 0 < x < 0.16$

Ответ: $0 < x < 0.16$

3) $\log_{\frac{1}{2}} x \geq 16$

Решение:

1. Дано: $\log_{\frac{1}{2}} x \geq 16$
2. Область определения: $x > 0$
3. Представим 16 как логарифм по основанию $\frac{1}{2}$:

   $$16 = \log_{\frac{1}{2}} \left( \left( \frac{1}{2} \right)^{16} \right) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{65536}$$

4. Подставим:

   $$\log_{\frac{1}{2}} x \geq \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{65536}$$

5. Основание $\frac{1}{2}$ лежит в пределах $0 < a < 1$, логарифмическая функция убывает, поэтому:

   $$\log_{a} x \geq \log_{a} y \iff x \leq y$$

6. Получаем:

   $$x \leq \frac{1}{65536}$$

7. Совместим с областью определения $x > 0$:

   $$0 < x \leq \frac{1}{65536}$$

Ответ: $0 < x \leq \frac{1}{65536}$

4) $\log_{0.4} x \leq 2$

Решение:

1. Дано: $\log_{0.4} x \leq 2$
2. Область определения: $x > 0$
3. Аналогично предыдущим задачам, представим 2 как логарифм:

   $$2 = \log_{0.4} 0.16$$

4. Подставим:

   $$\log_{0.4} x \leq \log_{0.4} 0.16$$

5. Основание $0.4 < 1 \Rightarrow$ логарифмическая функция убывает, следовательно:

   $$\log_{a} x \leq \log_{a} y \iff x \geq y$$

6. Получаем:

   $$x \geq 0.16$$

7. ОДЗ: $x > 0 \Rightarrow x \geq 0.16$ автоматически соблюдается.

Ответ: $x \geq 0.16$