ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 325 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (325—326).

1. log5(х) > log5(3);
2. log1/5(x) < = log1/5(1/8);
3. lg x < lg 4;
4. ln x > ln 0,5.

1) $\log_{5} x > \log_{5} 3$

• $5 > 1$, следовательно $x > 3$;
• Ответ: $x > 3$.

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \leq \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8}$

• $\frac{1}{5} < 1$, следовательно $x \geq \frac{1}{8}$;
• Ответ: $x \geq \frac{1}{8}$.

3) $\lg x < \lg 4$

• $\log_{10} x < \log_{10} 4$;
• $10 > 1$, следовательно $x < 4$;
• Ответ: $0 < x < 4$.

4) $\ln x > \ln 0.5$

• $\log_{e} x > \log_{e} 0.5$;
• $e > 1$, следовательно $x > 0.5$;
• Ответ: $x > 0.5$.

1) $\log_{5} x > \log_{5} 3$

Решение:

1. Обе части неравенства содержат логарифмы с одинаковым основанием: $\log_{5} x$ и $\log_{5} 3$.
2. Область определения логарифма: $x > 0$ (логарифм определён только для положительных чисел).
3. Основание логарифма: $5$. Это число больше 1, т.е. $5 > 1$.
4. Свойство логарифмической функции: если основание больше 1, то функция $\log_{a} x$ возрастает. Значит:

   $$\log_{5} x > \log_{5} 3 \iff x > 3.$$

5. Но также нужно учесть область определения $x > 0$, которая автоматически выполняется при $x > 3$.

Ответ: $x > 3$

2) $\log_{\frac{1}{5}} x \leq \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8}$

Решение:

1. Основание логарифма: $\frac{1}{5}$. Это дробь между 0 и 1, т.е. $0 < \frac{1}{5} < 1$.
2. Свойство логарифма: при $0 < a < 1$, логарифмическая функция убывает. Это значит:

   $$\log_{a} x \leq \log_{a} y \iff x \geq y \quad \text{(при } 0 < a < 1 \text{)}.$$

3. Следовательно, из неравенства:

   $$\log_{\frac{1}{5}} x \leq \log_{\frac{1}{5}} \frac{1}{8} \iff x \geq \frac{1}{8}.$$

4. Область определения логарифма: $x > 0$. Это условие также автоматически выполнено, если $x \geq \frac{1}{8}$.

Ответ: $x \geq \frac{1}{8}$

3) $\lg x < \lg 4$

Решение:

1. Символ $\lg x$ означает десятичный логарифм: $\log_{10} x$.
2. Перепишем неравенство:

   $$\log_{10} x < \log_{10} 4.$$

3. Основание: $10$, и это число больше 1, т.е. функция возрастает.
4. Значит:

   $$\log_{10} x < \log_{10} 4 \iff x < 4.$$

5. Но важно не забыть про область определения логарифма: $x > 0$.
6. Совмещаем:

   $$0 < x < 4.$$

Ответ: $0 < x < 4$

4) $\ln x > \ln 0.5$

Решение:

1. Символ $\ln x$ — это натуральный логарифм, основание $e \approx 2.718$, и оно больше 1.
2. Следовательно, функция $\ln x$ возрастает.
3. Преобразуем неравенство:

   $$\ln x > \ln 0.5 \iff x > 0.5.$$

4. Также проверяем область определения: $x > 0$. Это условие выполнено, если $x > 0.5$.

Ответ: $x > 0.5$