ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 321 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, является ли возрастающей или убывающей функция:

1. y=log0,075(x);
2. y=log корень 3/2(x);
3. y=lgx;
4. y=lnx.

Выяснить, является функция возрастающей или убывающей:

1. $y = \log_{0{,}075} x$;
   $0{,}075 < 1$, следовательно функция $y = \log_{0{,}075} x$ убывает;
2. $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$;
   $3 < 4 \quad \Rightarrow \quad \sqrt{3} < 2 \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{3}}{2} < 1$;
   $\frac{\sqrt{3}}{2} < 1$, следовательно функция $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$ убывает;
3. $y = \lg x = \log_{10} x$;
   $10 > 1$, следовательно функция $y = \lg x$ возрастает;
4. $y = \ln x = \log_{e} x$;
   $e \approx 2{,}7$;
   $e > 1$, следовательно функция $y = \ln x$ возрастает;

Задание:
Выяснить, является ли функция возрастающей или убывающей.

Что нужно знать:

Логарифмическая функция имеет вид:

$$y = \log_a x$$

где $a$ — основание логарифма, $x > 0$, и $a > 0$, $a \ne 1$.

• Если $a > 1$, функция возрастает (с ростом $x$, $y$ тоже растёт).
• Если $0 < a < 1$, функция убывает (с ростом $x$, $y$ убывает).

Решение:

1) $y = \log_{0{,}075} x$

Шаг 1:
Определим основание логарифма:

$$a = 0{,}075$$

Шаг 2:
Проверим, больше ли оно 1 или меньше:

$$0{,}075 < 1$$

Шаг 3:
Так как $a = 0{,}075 < 1$, а $a > 0$, следовательно:
Функция $y = \log_{0{,}075} x$ убывает.

2) $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$

Шаг 1:
Определим основание логарифма:

$$a = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2:
Оценим численно значение $\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sqrt{3} \approx 1{,}732, \quad \Rightarrow \quad \frac{\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1{,}732}{2} \approx 0{,}866$$

Шаг 3:
Сравним с 1:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}866 < 1$$

Шаг 4:
Так как основание логарифма меньше 1 и больше 0, то:
Функция $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$ убывает.

3) $y = \lg x = \log_{10} x$

Шаг 1:
Запомним, что десятичный логарифм записывается как $\lg x$ и означает $\log_{10} x$.
Значит:

$$a = 10$$

Шаг 2:
Проверим:

$$10 > 1$$

Шаг 3:
Так как основание $a > 1$, функция $y = \log_{10} x$ возрастает.

4) $y = \ln x = \log_e x$

Шаг 1:
Натуральный логарифм записывается как $\ln x$, это то же самое, что $\log_e x$, где $e$ — число Эйлера.
Приблизительное значение:

$$e \approx 2{,}718$$

Шаг 2:
Проверим:

$$e > 1$$

Шаг 3:
Так как основание логарифма $a = e > 1$, то функция $y = \ln x$ возрастает.

Ответ:

1. $y = \log_{0{,}075} x$ — убывает
2. $y = \log_{\frac{\sqrt{3}}{2}} x$ — убывает
3. $y = \lg x = \log_{10} x$ — возрастает
4. $y = \ln x = \log_{e} x$ — возрастает