ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 316 Алимов — Подробные Ответы

При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний наcoca в сосуде останется 1/10^16 часть первоначальной массы воздуха?

При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нем воздуха, через сколько качаний насоса в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть воздуха;

При каждом качании количество воздуха уменьшается в $q$ раз:

$$q = (100\% — 1,2\%) : 100 = 0,998;$$

Пусть $a$ — первоначальное количество воздуха, тогда:

$$a_n = a \cdot q^n = a(0,998)^n;$$

Останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть воздуха через:

$$a(0,998{)}^n=\frac{a}{{10}^{16}};$$

$$a(0,998)^n = \frac{a}{10^{16}};$$ $$(0,998{)}^n={10}^{-16};$$

$$(0,998)^n = 10^{-16};$$ $${\log }_{0,998}(0,998{)}^n={\log }_{0,998}{10}^{-16};$$

$$\log_{0,998}(0,998)^n = \log_{0,998} 10^{-16};$$ $$n = \log_{0,998} 10^{-16} = -16 \log_{0,998} 10 \approx -16 \cdot (-190,7) \approx 3052;$$

Ответ: через 3052 качания.

Условие:
При одном качании поршневого насоса из сосуда удаляется 1,2% имеющегося в нём воздуха. Через сколько качаний в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть первоначального количества воздуха?

Шаг 1: Понимание задачи

С каждым качанием насоса из сосуда удаляется 1,2% воздуха, который там есть на данный момент. Это означает, что после одного качания в сосуде остаётся 98,8% воздуха от текущего количества.

Задача — узнать, через сколько качаний $n$ в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть от первоначального объёма воздуха.

Шаг 2: Перевод процентов в коэффициент уменьшения

Если после каждого качания остаётся 98,8% воздуха, то это значит:

$$q = 1 — \frac{1{,}2}{100} = 0{,}988$$

Каждое новое значение воздуха получается умножением на этот коэффициент:

$$q = 0{,}988$$

Шаг 3: Составление формулы

Пусть $a$ — начальное количество воздуха в сосуде.

Тогда после:

• 1 качания: $a \cdot 0{,}988$
• 2 качаний: $a \cdot (0{,}988)^2$
• …
• $n$ качаний: $a \cdot (0{,}988)^n$

Обозначим:

$$a_n = a \cdot (0{,}988)^n$$

Шаг 4: Запись условия задачи в виде уравнения

Нужно, чтобы после $n$ качаний осталось:

$$a_n = \frac{a}{10^{16}}$$

Подставляем в формулу:

$$a \cdot (0{,}988)^n = \frac{a}{10^{16}}$$

Упрощаем, делим обе части на $a$:

$$(0{,}988)^n = 10^{-16}$$

Шаг 5: Решение показательного уравнения через логарифмы

Применим логарифм по основанию 0,988 к обеим частям:

$$\log_{0{,}988} (0{,}988)^n = \log_{0{,}988} (10^{-16})$$

Используем свойства логарифмов:

$$n \cdot \log_{0{,}988} (0{,}988) = \log_{0{,}988} (10^{-16})$$ $$n = \log_{0{,}988} (10^{-16})$$

Разложим правую часть по свойствам логарифма:

$$\log_{0{,}988} (10^{-16}) = -16 \cdot \log_{0{,}988} 10$$

Шаг 6: Переход к десятичному логарифму

Чтобы найти $\log_{0{,}988} 10$, используем формулу перехода основания:

$$\log_{0{,}988} 10 = \frac{\log_{10} 10}{\log_{10} 0{,}988} = \frac{1}{\log_{10} 0{,}988}$$

Вычислим $\log_{10} 0{,}988 \approx -0{,}00524$ (значение можно найти с калькулятором).

Подставим:

$$\log_{0{,}988} 10 = \frac{1}{-0{,}00524} \approx -190{,}8$$

Теперь:

$$n = -16 \cdot (-190{,}8) \approx 3052{,}8$$

Шаг 7: Интерпретация результата

Результат — $n \approx 3052{,}8$. Это означает, что после 3052 полных качаний в сосуде останется чуть больше, чем $\frac{1}{10^{16}}$. Чтобы осталось не больше, чем $\frac{1}{10^{16}}$, нужно выполнить ещё одно качание, то есть:

$$\boxed{n = 3053}$$

Однако, в исходной задаче округлили до 3052, возможно из-за приближений на промежуточных этапах. При точных вычислениях логарифма:

• Если $\log_{10} 0{,}988 \approx -0{,}005242$, то $\log_{0{,}988} 10 \approx -190{,}74$
• Тогда $n = -16 \cdot (-190{,}74) \approx 3051{,}84$

И результат корректно округляется до:

$$\boxed{3052}$$

Ответ:

Через 3052 качания насоса в сосуде останется $\frac{1}{10^{16}}$ часть воздуха.