ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 312 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. log3(216)/log8(3) — log3(24)/log72(2);
2. log2(192)/log12() — log2(24)/ log96(2).

1. $\frac{\log_{3} 216}{\log_{8} 3} — \frac{\log_{3} 24}{\log_{72} 3} = \log_{3} 216 : \frac{\log_{3} 3}{\log_{3} 8} — \log_{3} 24 : \frac{\log_{3} 3}{\log_{3} 72} =$

$= \log_{3} 216 \cdot \log_{3} 8 — \log_{3} 24 \cdot \log_{3} 72 =$

$= \log_{3}(27 \cdot 8) \cdot \log_{3} 8 — \log_{3}(8 \cdot 3) \cdot \log_{3}(8 \cdot 9) =$

$= (\log_{3} 3^3 + \log_{3} 8) \cdot \log_{3} 8 — (\log_{3} 8 + \log_{3} 3)(\log_{3} 8 + \log_{3} 3^2) =$

$= (3 + \log_{3} 8) \cdot \log_{3} 8 — (\log_{3} 8 + 1)(\log_{3} 8 + 2) =$

$= 3 \log_{3} 8 + (\log_{3} 8)^2 — (\log_{3} 8)^2 — 2 \log_{3} 8 — \log_{3} 8 — 2 = -2;$

Ответ: $-2$.

2. $\frac{\log_{2} 192}{\log_{12} 2} — \frac{\log_{2} 24}{\log_{96} 2} = \log_{2} 192 : \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 12} — \log_{2} 24 : \frac{\log_{2} 2}{\log_{2} 96} =$

$= \log_{2} 192 \cdot \log_{2} 12 — \log_{2} 24 \cdot \log_{2} 96 =$

$= \log_{2}(64 \cdot 3) \cdot \log_{2}(4 \cdot 3) — \log_{2}(8 \cdot 3) \cdot \log_{2}(32 \cdot 3) =$

$= (\log_{2} 2^6 + \log_{2} 3)(\log_{2} 2^2 + \log_{2} 3) — (\log_{2} 2^3 + \log_{2} 3)(\log_{2} 2^5 + \log_{2} 3) =$

$= (6 + \log_{2} 3)(2 + \log_{2} 3) — (3 + \log_{2} 3)(5 + \log_{2} 3) =$

$= 12 + 6 \log_{2} 3 + 2 \log_{2} 3 + (\log_{2} 3)^2 — 15 — 3 \log_{2} 3 — 5 \log_{2} 3 — (\log_{2} 3)^2 =$

$= 12 — 15 = -3;$

Ответ: $-3$.

1)

$$\frac{\log_{3} 216}{\log_{8} 3} — \frac{\log_{3} 24}{\log_{72} 3}$$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы по формуле смены основания

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Тогда:

$$\frac{\log_3 216}{\log_8 3} = \log_3 216 \div \left( \frac{\log_3 3}{\log_3 8} \right) = \log_3 216 \cdot \log_3 8$$

Аналогично:

$$\frac{\log_3 24}{\log_{72} 3} = \log_3 24 \cdot \log_3 72$$

Шаг 2: Преобразуем аргументы логарифмов

Разложим:

• $216 = 27 \cdot 8 = 3^3 \cdot 2^3$
• $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
• $72 = 8 \cdot 9 = 2^3 \cdot 3^2$

Тогда:

$$\log_3 216 = \log_3 (27 \cdot 8) = \log_3 3^3 + \log_3 8 = 3 + \log_3 8$$ $$\log_3 24 = \log_3 (8 \cdot 3) = \log_3 8 + \log_3 3 = \log_3 8 + 1$$ $$\log_3 72 = \log_3 (8 \cdot 9) = \log_3 8 + \log_3 3^2 = \log_3 8 + 2$$

Шаг 3: Подставим всё в выражение

$$\frac{\log_3 216}{\log_8 3} — \frac{\log_3 24}{\log_{72} 3} = (3 + \log_3 8) \cdot \log_3 8 — (\log_3 8 + 1)(\log_3 8 + 2)$$

Обозначим $a = \log_3 8$, тогда выражение:

$$(3 + a)a — (a + 1)(a + 2)$$

Распишем:

• Первая часть: $3a + a^2$
• Вторая часть: $a^2 + 2a + a + 2 = a^2 + 3a + 2$

Теперь подставим:

$$(3a + a^2) — (a^2 + 3a + 2)$$ $$= 3a + a^2 — a^2 — 3a — 2 = -2$$

Ответ:

$$\boxed{-2}$$

2)

$$\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} — \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2}$$

Шаг 1: Смена основания

Аналогично используем:

$$\frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} = \log_2 192 \cdot \log_2 12$$ $$\frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} = \log_2 24 \cdot \log_2 96$$

Шаг 2: Разложим все аргументы

• $192 = 64 \cdot 3 = 2^6 \cdot 3$
• $12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
• $24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$
• $96 = 32 \cdot 3 = 2^5 \cdot 3$

Тогда:

$$\log_2 192 = \log_2 (2^6 \cdot 3) = 6 + \log_2 3$$ $$\log_2 12 = \log_2 (2^2 \cdot 3) = 2 + \log_2 3$$ $$\log_2 24 = \log_2 (2^3 \cdot 3) = 3 + \log_2 3$$ $$\log_2 96 = \log_2 (2^5 \cdot 3) = 5 + \log_2 3$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение

$$(6 + \log_2 3)(2 + \log_2 3) — (3 + \log_2 3)(5 + \log_2 3)$$

Обозначим $b = \log_2 3$, получим:

$$(6 + b)(2 + b) — (3 + b)(5 + b)$$

Распишем по формуле:

• Первая часть: $12 + 6b + 2b + b^2 = 12 + 8b + b^2$
• Вторая часть: $15 + 3b + 5b + b^2 = 15 + 8b + b^2$

Разность:

$$(12 + 8b + b^2) — (15 + 8b + b^2) = -3$$

Ответ:

$$\boxed{-3}$$