ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 309 Алимов — Подробные Ответы

Дано: lg3 =m, lg5=n. Найти: log15(30).

Дано: $\lg 3 = m$; $\lg 5 = n$;

Найти: $\log_{15} 30$;

Решение:

$$\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} = \frac{\lg (3 \cdot 10)}{\lg (3 \cdot 5)} = \frac{\lg 3 + \lg 10}{\lg 3 + \lg 5} = \frac{m + 1}{m + n};$$

Ответ: $\boxed{\frac{m + 1}{m + n}}$.

Дано:

$$\lg 3 = m, \quad \lg 5 = n$$

(где $\lg$ — десятичный логарифм, то есть $\log_{10}$).

Найти:

$$\log_{15} 30$$

Шаг 1: Применим формулу смены основания

Формула:

$$\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$$

Выбираем $c = 10$, т.е. десятичный логарифм $\lg$, так как значения $\lg 3$ и $\lg 5$ заданы.

$$\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15}$$

Шаг 2: Разложим числа 30 и 15 на множители

$$30 = 3 \cdot 10, \quad 15 = 3 \cdot 5$$

Шаг 3: Применим свойства логарифмов

Свойство:

$$\log(ab) = \log a + \log b$$

Тогда:

Числитель:

$$\lg 30 = \lg (3 \cdot 10) = \lg 3 + \lg 10$$

Знаменатель:

$$\lg 15 = \lg (3 \cdot 5) = \lg 3 + \lg 5$$

Шаг 4: Подставим известные значения

Из условия:

$$\lg 3 = m, \quad \lg 5 = n, \quad \lg 10 = 1 \quad (\text{так как } 10 = 10^1)$$

Тогда:

$$\lg 30 = m + 1, \quad \lg 15 = m + n$$

Шаг 5: Подставим в выражение

$$\log_{15} 30 = \frac{\lg 30}{\lg 15} = \frac{m + 1}{m + n}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{m + 1}{m + n}}$$