ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 307 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение:

1. log5(x) = 2log5(3) + 4log25(2);
2. log2(x) — 2log1/2(x)= 9;
3. log3(x) = 9log27(8) — 3log3(4);
4. log9(x2) + log корень 3(x)= 3;
5. log2(x) + log8(x) = 8;
6. log4(x) — log16(x) = 1/4.

Согласно доказанному в задаче 299: $\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$;

$\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2$;

$${\log }_{5}x={\log }_5{3}^2+2{\log }_{25}{2}^2;$$

$$\log_5 x = \log_5 3^2 + 2 \log_{25} 2^2;$$ $${\log }_{5}x={\log }_{5}9+{\log }_{5}4;$$

$$\log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4;$$ $${\log }_{5}x={\log }_5(9\cdot 4);$$

$$\log_5 x = \log_5 (9 \cdot 4);$$ $$\log_5 x = \log_5 36;$$

Ответ: $x = 36$.

$\log_2 x — 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9$;

$${\log }_{2}x-2{\log }_{2^{-1}}x={\log }_2{2}^9;$$

$$\log_2 x — 2 \log_{2^{-1}} x = \log_2 2^9;$$ $${\log }_{2}x+2{\log }_{2}x={\log }_{2}512;$$

$$\log_2 x + 2 \log_2 x = \log_2 512;$$ $$3{\log }_{2}x={\log }_{2}512;$$

$$3 \log_2 x = \log_2 512;$$ $${\log }_2{x}^3={\log }_{2}512;$$

$$\log_2 x^3 = \log_2 512;$$ $$x^3 = 512, \text{отсюда } x = 8;$$

Ответ: $x = 8$.

$\log_3 x = 9 \log_{27} 8 — 3 \log_3 4$;

$${\log }_{3}x=3{\log }_{3^3}{8}^3-{\log }_3{4}^3;$$

$$\log_3 x = 3 \log_{3^3} 8^3 — \log_3 4^3;$$ $${\log }_{3}x={\log }_{3}512-{\log }_{3}64;$$

$$\log_3 x = \log_3 512 — \log_3 64;$$ $${\log }_{3}x={\log }_3\frac{512}{64};$$

$$\log_3 x = \log_3 \frac{512}{64};$$ $$\log_3 x = \log_3 8;$$

Ответ: $x = 8$.

$\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3$;

$$2{\log }_{3^2}x+{\log }_{3^{\frac{1}{2}}}x={\log }_3{3}^3;$$

$$2 \log_{3^2} x + \log_{3^{\frac{1}{2}}} x = \log_3 3^3;$$ $$2\cdot \frac{1}{2}{\log }_{3}x+2{\log }_{3}x={\log }_{3}27;$$

$$2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x + 2 \log_3 x = \log_3 27;$$ $$3{\log }_{3}x={\log }_{3}27;$$

$$3 \log_3 x = \log_3 27;$$ $${\log }_3{x}^3={\log }_{3}27;$$

$$\log_3 x^3 = \log_3 27;$$ $$x^3=27,\text{отсюда }x=3;$$$$x^3 = 27, \text{отсюда } x = 3;$$

Ответ: $x = 3$.

$\log_2 x + \log_8 x = 8$;

$${\log }_{2}x+{\log }_{2^3}x={\log }_2{2}^8;$$

$$\log_2 x + \log_{2^3} x = \log_2 2^8;$$ $${\log }_{2}x+\frac{1}{3}{\log }_{2}x={\log }_{2}256;$$

$$\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = \log_2 256;$$ $$\frac{4}{3}{\log }_{2}x={\log }_{2}256;$$

$$\frac{4}{3} \log_2 x = \log_2 256;$$ $${\log }_2{x}^{\frac{4}{3}}={\log }_{2}256;$$

$$\log_2 x^{\frac{4}{3}} = \log_2 256;$$ $$x^{\frac{4}{3}}=256;$$

$$x^{\frac{4}{3}} = 256;$$ $$\left( x^{\frac{1}{3}} \right)^4 = 4, \text{отсюда } x = 64;$$

Ответ: $x = 64$.

$\log_4 x — \log_{16} x = \frac{1}{4}$;

$${\log }_{4}x-{\log }_{4^2}x={\log }_4{4}^{\frac{1}{2}};$$

$$\log_{4} x — \log_{4^2} x = \log_4 4^{\frac{1}{2}};$$ $${\log }_{4}x-\frac{1}{2}{\log }_{4}x={\log }_{4}2;$$

$$\log_4 x — \frac{1}{2} \log_4 x = \log_4 2;$$ $$\frac{1}{2}{\log }_{4}x={\log }_{4}2;$$

$$\frac{1}{2} \log_4 x = \log_4 2;$$ $${\log }_{4}x=2{\log }_{4}2;$$

$$\log_4 x = 2 \log_4 2;$$ $${\log }_{4}x={\log }_{4}4;$$$$\log_4 x = \log_4 4;$$

Ответ: $x = 2$.

Согласно доказанному в задаче 299:

$$\log_{a^p} b = \frac{1}{p} \log_a b$$

1)

Дано:
$\log_5 x = 2 \log_5 3 + 4 \log_{25} 2$

Шаг 1: Преобразуем логарифмы с коэффициентами:

$$2 \log_5 3 = \log_5 3^2 = \log_5 9$$ $$4 \log_{25} 2 = 2 \cdot \log_{25} 2^2 = 2 \log_{25} 4$$

Шаг 2: Применим формулу замены основания:

$$\log_{25} 4 = \frac{1}{2} \log_5 4 \quad (\text{так как } 25 = 5^2)$$ $$2 \cdot \log_{25} 4 = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_5 4 = \log_5 4$$

Шаг 3: Подставим обратно:

$$\log_5 x = \log_5 9 + \log_5 4 = \log_5 (9 \cdot 4) = \log_5 36$$

Шаг 4: Убираем логарифм:

$$x = 36$$

Ответ: $\boxed{x = 36}$

2)

Дано:
$\log_2 x — 2 \log_{\frac{1}{2}} x = 9$

Шаг 1: Заменим основание логарифма:

$$\log_{\frac{1}{2}} x = \log_{2^{-1}} x$$

Шаг 2: Применим формулу:

$$\log_{a^{-1}} x = -\log_a x \Rightarrow \log_{2^{-1}} x = -\log_2 x$$

Шаг 3: Подставим:

$$\log_2 x — 2 \cdot (-\log_2 x) = \log_2 x + 2 \log_2 x = 3 \log_2 x$$

Шаг 4: Подставим в исходное:

$$3 \log_2 x = 9 \Rightarrow \log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$

Ответ: $\boxed{x = 8}$

3)

Дано:
$\log_3 x = 9 \log_{27} 8 — 3 \log_3 4$

Шаг 1: Перепишем:

$$9 \log_{27} 8 = 3 \cdot (3 \log_{27} 8)$$

Представим:

$$\log_{27} 8 = \frac{1}{3} \log_3 8 \quad (\text{так как } 27 = 3^3) \Rightarrow 9 \log_{27} 8 = 9 \cdot \frac{1}{3} \log_3 8 = 3 \log_3 8$$

Аналогично:

$$3 \log_3 4 = \log_3 4^3 = \log_3 64$$

Шаг 2: Подставим:

$$\log_3 x = 3 \log_3 8 — \log_3 64 = \log_3 8^3 — \log_3 64 = \log_3 512 — \log_3 64$$ $$\log_3 x = \log_3 \left( \frac{512}{64} \right) = \log_3 8 \Rightarrow x = 8$$

Ответ: $\boxed{x = 8}$

4)

Дано:
$\log_9 x^2 + \log_{\sqrt{3}} x = 3$

Шаг 1: Упростим логарифмы по формулам:

$$\log_9 x^2 = 2 \log_9 x = 2 \cdot \frac{1}{2} \log_3 x = \log_3 x \quad (\text{так как } 9 = 3^2)$$ $$\log_{\sqrt{3}} x = \log_{3^{1/2}} x = \frac{1}{\frac{1}{2}} \log_3 x = 2 \log_3 x$$

Шаг 2: Складываем:

$$\log_3 x + 2 \log_3 x = 3 \log_3 x = 3 \Rightarrow \log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3^1 = 3$$

Ответ: $\boxed{x = 3}$

5)

Дано:
$\log_2 x + \log_8 x = 8$

Шаг 1: Преобразуем логарифм по основанию 8:

$$\log_8 x = \log_{2^3} x = \frac{1}{3} \log_2 x$$

Шаг 2: Подставим:

$$\log_2 x + \frac{1}{3} \log_2 x = \frac{4}{3} \log_2 x = 8 \Rightarrow \log_2 x = 6 \Rightarrow x = 2^6 = 64$$

Ответ: $\boxed{x = 64}$

6)

Дано:
$\log_4 x — \log_{16} x = \frac{1}{4}$

Шаг 1: Заменим логарифм с основанием 16:

$$\log_{16} x = \log_{4^2} x = \frac{1}{2} \log_4 x$$

Шаг 2: Подставим:

$$\log_4 x — \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{2} \log_4 x = \frac{1}{4}$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2:

$$\log_4 x = \frac{1}{2}$$ $$x = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$$

Ответ: $\boxed{x = 2}$